ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 406 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите множество решений неравенства:

1) \(x^2 \leq 49\);

2) \(x^2 > 5\);

3) \(7x^2 \leq 4x\);

4) \(0,9x^2 < -27x\).

1) \(x^{2} \leq 49\)
\(x^{2} — 49 \leq 0\)
\((x + 7)(x — 7) \leq 0\)
\(-7 \leq x \leq 7\)
\([-7;\ 7]\)

2) \(x^{2} > 5\)
\(x^{2} — 5 > 0\)
\((x + \sqrt{5})(x — \sqrt{5}) > 0\)
\(x < -\sqrt{5},\ x > \sqrt{5}\)
\((-\infty;\ -\sqrt{5}) \cup (\sqrt{5};\ +\infty)\)

3) \(7x^{2} \leq 4x\)
\(7x^{2} — 4x \leq 0\)
\(x(7x — 4) \leq 0\)
\(0 \leq x \leq \frac{4}{7}\)
\([0;\ \frac{4}{7}]\)

4) \(0{,}9x^{2} < -27x\)
\(0{,}9x^{2} + 27x < 0\)
\(0{,}9x(x + 30) < 0\)
\(-30 < x < 0\)
\((-30;\ 0)\)

1) \(x^{2} \leq 49\)
Переносим 49 влево: \(x^{2} — 49 \leq 0\)
Разложим на множители: \((x + 7)(x — 7) \leq 0\)
Найдём нули: \(x = -7\), \(x = 7\)
Рассмотрим интервалы:
1) \(x < -7\), оба множителя отрицательны, произведение положительно
2) \(-7 \leq x \leq 7\), множители разного знака или один равен нулю, произведение неположительно
3) \(x > 7\), оба множителя положительны, произведение положительно
Ответ: \([-7;\ 7]\)

2) \(x^{2} > 5\)
Переносим 5 влево: \(x^{2} — 5 > 0\)
Разложим на множители: \((x + \sqrt{5})(x — \sqrt{5}) > 0\)
Нули: \(x = -\sqrt{5}\), \(x = \sqrt{5}\)
Рассмотрим интервалы:
1) \(x < -\sqrt{5}\), оба множителя отрицательны, произведение положительно
2) \(-\sqrt{5} < x < \sqrt{5}\), множители разного знака, произведение отрицательно
3) \(x > \sqrt{5}\), оба множителя положительны, произведение положительно
Ответ: \((-\infty;\ -\sqrt{5}) \cup (\sqrt{5};\ +\infty)\)

3) \(7x^{2} \leq 4x\)
Переносим всё влево: \(7x^{2} — 4x \leq 0\)
Вынесем x за скобку: \(x(7x — 4) \leq 0\)
Нули: \(x = 0\), \(7x — 4 = 0 \Rightarrow x = \frac{4}{7}\)
Рассмотрим интервалы:
1) \(x < 0\), x отрицателен, \(7x — 4\) отрицателен, произведение положительно
2) \(0 \leq x \leq \frac{4}{7}\), x неотрицателен, \(7x — 4\) не положителен, произведение неположительно
3) \(x > \frac{4}{7}\), оба множителя положительны, произведение положительно
Ответ: \([0;\ \frac{4}{7}]\)

4) \(0{,}9x^{2} < -27x\)
Переносим всё влево: \(0{,}9x^{2} + 27x < 0\)
Вынесем x за скобку: \(0{,}9x(x + 30) < 0\)
Нули: \(x = 0\), \(x + 30 = 0 \Rightarrow x = -30\)
Рассмотрим интервалы:
1) \(x < -30\), x отрицателен, \(x + 30\) отрицателен, произведение положительно
2) \(-30 < x < 0\), x отрицателен, \(x + 30\) положителен, произведение отрицательно
3) \(x > 0\), оба множителя положительны, произведение положительно
Ответ: \((-30;\ 0)\)