ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 410 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

При каких значениях \(x\):

1) значения трёхчлена \(-3x^2 + 6x + 1\) больше \(-\frac{4}{3}\);

2) значения трёхчлена \(-5x^2 + 11x + 2\) не больше \(-\frac{2}{5}\)?

1) \(-3x^{2} + 6x + 1 > -\frac{4}{3}\)
\(9x^{2} — 18x — 7 < 0\)
\(D = 18^{2} + 4 \cdot 9 \cdot 7 = 324 + 252 = 576\)
\(x_{1} = \frac{18 — 24}{2 \cdot 9} = -\frac{1}{3}\)
\(x_{2} = \frac{18 + 24}{2 \cdot 9} = \frac{7}{3}\)
\(-\frac{1}{3} < x < 2\frac{1}{3}\)
\((- \frac{1}{3};\ 2\frac{1}{3})\)

2) \(-5x^{2} + 11x + 2 \leq -\frac{2}{5}\)
\(25x^{2} — 55x — 12 \geq 0\)
\(D = 55^{2} + 4 \cdot 25 \cdot 12 = 3025 + 1200 = 4225\)
\(x_{1} = \frac{55 — 65}{2 \cdot 25} = -0{,}2\)
\(x_{2} = \frac{55 + 65}{2 \cdot 25} = 2{,}4\)
\(x \leq -0{,}2,\ x \geq 2{,}4\)
\((-\infty;\ -0{,}2] \cup [2{,}4;\ +\infty)\)

1) Решим неравенство: \(-3x^{2} + 6x + 1 > -\frac{4}{3}\).

Переносим всё в одну сторону: \(-3x^{2} + 6x + 1 + \frac{4}{3} > 0\).

Приведём к общему знаменателю: \(-3x^{2} + 6x + \frac{7}{3} > 0\).

Умножаем обе части на 3: \(-9x^{2} + 18x + 7 > 0\).

Меняем знаки для удобства: \(9x^{2} — 18x — 7 < 0\).

Выпишем коэффициенты: \(a = 9\), \(b = -18\), \(c = -7\).

Вычислим дискриминант: \(D = (-18)^{2} — 4 \cdot 9 \cdot (-7) = 324 + 252 = 576\).

Найдём корни: \(x_{1} = \frac{18 — 24}{18} = -\frac{1}{3}\), \(x_{2} = \frac{18 + 24}{18} = \frac{42}{18} = \frac{7}{3}\).

Поскольку ветви параболы вверх, решение между корнями: \(-\frac{1}{3} < x < 2\frac{1}{3}\).

Ответ: \((- \frac{1}{3};\ 2\frac{1}{3})\)

2) Решим неравенство: \(-5x^{2} + 11x + 2 \leq -\frac{2}{5}\).

Переносим всё в одну сторону: \(-5x^{2} + 11x + 2 + \frac{2}{5} \leq 0\).

Приводим к общему знаменателю: \(-5x^{2} + 11x + \frac{12}{5} \leq 0\).

Умножаем обе части на 5: \(-25x^{2} + 55x + 12 \leq 0\).

Меняем знаки: \(25x^{2} — 55x — 12 \geq 0\).

Выпишем коэффициенты: \(a = 25\), \(b = -55\), \(c = -12\).

Вычислим дискриминант: \(D = (-55)^{2} — 4 \cdot 25 \cdot (-12) = 3025 + 1200 = 4225\).

Найдём корни: \(x_{1} = \frac{55 — 65}{50} = -0{,}2\), \(x_{2} = \frac{55 + 65}{50} = \frac{120}{50} = 2{,}4\).

Ветви параболы вверх, решение вне корней: \(x \leq -0{,}2\) или \(x \geq 2{,}4\).

Ответ: \((-\infty;\ -0{,}2] \cup [2{,}4;\ +\infty)\)