ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 418 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Составьте какое-нибудь неравенство, множество решений которого:

1) объединение промежутков \((-\infty; -4)\) и \((8; +\infty)\);

2) промежуток \([-2; 9]\);

3) состоит из одного числа 7.

1) \(x \in (-\infty; -4) \cup (8; +\infty)\)

\((x + 4)(x — 8) > 0\)

\(x^{2} — 8x + 4x — 32 > 0\)

\(x^{2} — 4x — 32 > 0\)

2) \(x \in [-2; 9]\)

\((x + 2)(x — 9) \leq 0\)

\(x^{2} — 9x + 2x — 18 \leq 0\)

\(x^{2} — 7x — 18 \leq 0\)

3) \(x \in \{7\}\)

\((x — 7)^{2} \leq 0\)

\(x^{2} — 14x + 49 \leq 0\)

1) Пусть требуется решить неравенство, чтобы получить множество \(x \in (-\infty; -4) \cup (8; +\infty)\).

Запишем неравенство: \((x + 4)(x — 8) > 0\).

Рассмотрим произведение двух множителей. Оно больше нуля, когда оба множителя положительны или оба отрицательны.

Первый случай: \(x + 4 > 0\) и \(x — 8 > 0\). Тогда \(x > -4\) и \(x > 8\), то есть \(x > 8\).

Второй случай: \(x + 4 < 0\) и \(x — 8 < 0\). Тогда \(x < -4\) и \(x < 8\), то есть \(x < -4\).

Объединяя оба случая, получаем \(x < -4\) или \(x > 8\), то есть \(x \in (-\infty; -4) \cup (8; +\infty)\).

2) Требуется получить множество \(x \in [-2; 9]\).

Запишем неравенство: \((x + 2)(x — 9) \leq 0\).

Рассмотрим произведение двух множителей. Оно не больше нуля, когда один из множителей положителен, а другой отрицателен, либо хотя бы один из них равен нулю.

Первый случай: \(x + 2 \leq 0\) и \(x — 9 \geq 0\). Тогда \(x \leq -2\) и \(x \geq 9\), что не дает решений, так как \(x\) не может одновременно быть меньше или равен \(-2\) и больше или равен \(9\).

Второй случай: \(x + 2 \geq 0\) и \(x — 9 \leq 0\). Тогда \(x \geq -2\) и \(x \leq 9\), то есть \(x \in [-2; 9]\).

Проверяем точки \(x = -2\) и \(x = 9\): подставляем в исходное неравенство, получаем \(0\) в обоих случаях, значит точки входят в решение.

Ответ: \(x \in [-2; 9]\).

3) Требуется получить множество \(x \in \{7\}\).

Запишем неравенство: \((x — 7)^{2} \leq 0\).

Квадрат любого числа неотрицателен, равен нулю только при \(x — 7 = 0\), то есть \(x = 7\).

Значит, решением является только одна точка: \(x = 7\).

Ответ: \(x \in \{7\}\).