ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 425 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Решите систему неравенств:

1) \(\begin{cases} -6x^2 + 13x — 5 \leq 0, \\ 6 — 2x > 0; \end{cases}\)

2) \(\begin{cases} x^2 — 7x — 18 < 0, \\ 5x — x^2 \leq 0. \end{cases}\)

В первом случае решаем неравенство \(-6x^{2} + 13x — 5 \leq 0\), получаем \(x \leq \frac{1}{2}\) или \(x \geq \frac{5}{3}\). Второе неравенство \(6 — 2x > 0\) даёт \(x < 3\). Пересечение: \((-\infty; \frac{1}{2}] \cup [\frac{5}{3}; 3)\).

Во втором случае \(x^{2} — 7x — 18 < 0\) даёт \(-2 < x < 9\), а \(5x — x^{2} \leq 0\) даёт \(x \leq 0\) или \(x \geq 5\). Пересечение: \((-2; 0] \cup [5; 9)\).

1)
Рассмотрим систему: \(-6x^{2} + 13x — 5 \leq 0\) и \(6 — 2x > 0\). Начнем с первого неравенства. Для удобства умножим обе части на \(-1\), при этом знак неравенства меняется на противоположный: \(6x^{2} — 13x + 5 \geq 0\). Это квадратное неравенство, для которого найдем корни: приравниваем к нулю \(6x^{2} — 13x + 5 = 0\). Находим дискриминант: \(D = (-13)^{2} — 4 \cdot 6 \cdot 5 = 169 — 120 = 49\). Корни вычисляем по формуле: \(x_{1} = \frac{13 — 7}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}\), \(x_{2} = \frac{13 + 7}{12} = \frac{20}{12} = \frac{5}{3}\). Так как коэффициент при \(x^{2}\) положительный (\(6 > 0\)), ветви параболы направлены вверх, и неравенство выполняется вне корней, то есть при \(x \leq \frac{1}{2}\) или \(x \geq \frac{5}{3}\).

Теперь рассмотрим второе неравенство системы: \(6 — 2x > 0\). Переносим \(2x\) вправо: \(6 > 2x\). Делим обе части на \(2\), получаем \(3 > x\) или \(x < 3\). Это значит, что все допустимые значения \(x\) должны быть меньше трех. Таким образом, чтобы удовлетворить обоим условиям системы, нужно найти пересечение решений двух неравенств.

Объединяя решения, получаем: первое неравенство дает \(x \leq \frac{1}{2}\) или \(x \geq \frac{5}{3}\), а второе ограничивает сверху: \(x < 3\). Значит, окончательный ответ будет: \(x \leq \frac{1}{2}\) или \(\frac{5}{3} \leq x < 3\). В ответе это записывается как объединение двух промежутков: \((-\infty; \frac{1}{2}] \cup [\frac{5}{3}; 3)\).

2)
Вторая система: \(x^{2} — 7x — 18 < 0\) и \(5x — x^{2} \leq 0\). Сначала решим первое неравенство. Это квадратное неравенство, для начала найдем корни соответствующего уравнения: \(x^{2} — 7x — 18 = 0\). Дискриминант: \(D = (-7)^{2} — 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 49 + 72 = 121\). Корни: \(x_{1} = \frac{7 — 11}{2} = -2\), \(x_{2} = \frac{7 + 11}{2} = 9\). Парабола направлена вверх, так как коэффициент при \(x^{2}\) положительный. Неравенство строгое, поэтому \(x\) лежит между корнями: \(-2 < x < 9\).

Второе неравенство: \(5x — x^{2} \leq 0\). Перенесем все в одну сторону: \(-x^{2} + 5x \leq 0\), или \(x^{2} — 5x \geq 0\). Разложим на множители: \(x(x — 5) \geq 0\). Произведение двух множителей неотрицательно, когда оба больше или равны нулю, либо оба меньше или равны нулю. Это возможно при \(x \leq 0\) или \(x \geq 5\).

Теперь находим пересечение решений двух неравенств. Из первого неравенства: \(-2 < x < 9\). Из второго: \(x \leq 0\) или \(x \geq 5\). Пересекаем: для \(x \leq 0\) с учетом первого неравенства получаем \(-2 < x \leq 0\); для \(x \geq 5\) с учетом первого неравенства получаем \(5 \leq x < 9\).

Значит, окончательный ответ: \(-2 < x \leq 0\) или \(5 \leq x < 9\), что записывается в виде объединения промежутков: \((-2; 0] \cup [5; 9)\).