ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 430 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите множество решений неравенства:

1) \(5x^2 — 7|x| + 2 \geq 0;\)

2) \(x^2 + 10|x| — 24 \leq 0.\)

\(5x^2 — 7|x| + 2 \geq 0\)

\(D = 7^2 — 4 \cdot 5 \cdot 2 = 49 — 40 = 9\)

\(|x|_1 = \frac{7-3}{2 \cdot 5} = 0{,}4\), \(|x|_2 = \frac{7+3}{2 \cdot 5} = 1\)

\((|x| — 0{,}4)(|x| — 1) \geq 0\)

\((x+1)(x+0{,}4)(x-0{,}4)(x-1) \geq 0\)

\(x \leq -1\), \(-0{,}4 \leq x \leq 0{,}4\), \(x \geq 1\)

\((-\infty; -1] \cup [-0{,}4; 0{,}4] \cup [1; +\infty)\)

\(x^2 + 10|x| — 24 \leq 0\)

\(D = 10^2 + 4 \cdot 1 \cdot 24 = 100 + 96 = 196\)

\(|x|_1 = \frac{-10-14}{2} = -12\), \(|x|_2 = \frac{-10+14}{2} = 2\)

\((|x| + 12)(|x| — 2) \leq 0\)

\(|x| — 2 \leq 0\), \(|x| \leq 2\)

\(-2 \leq x \leq 2\)

\([-2; 2]\)

1) Для решения неравенства \(5x^2 — 7|x| + 2 \geq 0\) сначала заметим, что выражение содержит модуль. Чтобы избавиться от него, введём замену: пусть \(t = |x|\), тогда \(t \geq 0\). Подставим это обозначение в исходное неравенство и получим: \(5t^2 — 7t + 2 \geq 0\). Это квадратное неравенство относительно \(t\). Для его решения найдём сначала дискриминант: \(D = (-7)^2 — 4 \cdot 5 \cdot 2 = 49 — 40 = 9\). Корни квадратного трёхчлена находим по формуле: \(t_1 = \frac{7-3}{2 \cdot 5} = \frac{4}{10} = 0{,}4\), \(t_2 = \frac{7+3}{2 \cdot 5} = \frac{10}{10} = 1\). Поскольку коэффициент при \(t^2\) положительный, ветви параболы направлены вверх, значит, неравенство выполняется при \(t \leq 0{,}4\) или \(t \geq 1\).

Теперь вернёмся к переменной \(x\). Мы получаем два случая: либо \(|x| \leq 0{,}4\), либо \(|x| \geq 1\). Первый случай \(|x| \leq 0{,}4\) означает, что \(x\) лежит в промежутке от \(-0{,}4\) до \(0{,}4\), то есть \(-0{,}4 \leq x \leq 0{,}4\). Второй случай \(|x| \geq 1\) означает, что \(x\) либо меньше либо равен \(-1\), либо больше либо равен \(1\), то есть \(x \leq -1\) или \(x \geq 1\). Таким образом, объединяя оба случая, получаем все значения \(x\), при которых исходное неравенство верно.

Окончательно ответ можно записать в виде объединения промежутков: \((-\infty; -1] \cup [-0{,}4; 0{,}4] \cup [1; +\infty)\). Это множество всех \(x\), которые удовлетворяют исходному неравенству.

2) Решим неравенство \(x^2 + 10|x| — 24 \leq 0\). Снова обозначим \(t = |x|\), тогда \(t \geq 0\). Подставляем в неравенство: \(t^2 + 10t — 24 \leq 0\). Это квадратное неравенство, для которого находим дискриминант: \(D = 10^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 100 + 96 = 196\). Корни определим по формуле: \(t_1 = \frac{-10-14}{2} = -12\), \(t_2 = \frac{-10+14}{2} = 2\). Так как переменная \(t = |x|\) не может быть отрицательной, рассматриваем только те значения, которые соответствуют \(t \geq 0\).

Рассмотрим промежуток, на котором квадратный трёхчлен не превышает нуля. Парабола направлена вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями, то есть при \(-12 \leq t \leq 2\). Но так как \(t \geq 0\), берём только часть этого промежутка, где \(0 \leq t \leq 2\). Подставляя обратно \(t = |x|\), получаем неравенство \(|x| \leq 2\).

Из неравенства \(|x| \leq 2\) следует, что \(x\) лежит в промежутке от \(-2\) до \(2\), то есть \(-2 \leq x \leq 2\). Это и есть все значения \(x\), при которых исходное неравенство выполняется.

Ответ: \([-2; 2]\)