ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 431 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Решите неравенство:

1) \(|x| \cdot (x^2 + 3x — 10) < 0;\)

2) \(\sqrt{x(x^2 + 2x — 8)} \leq 0;\)

3) \((x — 2)^2(x^2 — 8x — 9) < 0;\)

4) \((x + 5)^2(x^2 — 2x — 15) > 0;\)

5) \(\frac{x^2 + 7x — 8}{(x — 4)^2} \geq 0;\)

6) \(\frac{x^2 + 10x — 11}{(x + 3)^2} \leq 0.\)

\((-5; 0) \cup (0; 2)\)

\([0; 2]\)

\((-1; 2) \cup (2; 9)\)

\((-\infty; -5) \cup (-5; -3) \cup (5; +\infty)\)

\((-\infty; -8] \cup [1; 4) \cup (4; +\infty)\)

\([-11; -3) \cup (-3; 1]\)

1) Решаем неравенство \( |x| \cdot (x^{2} + 3x — 10) < 0 \). Так как \( |x| \geq 0 \), произведение будет меньше нуля, только если \( |x| > 0 \) и \( x^{2} + 3x — 10 < 0 \). Найдём корни квадратного трёхчлена: \( x^{2} + 3x — 10 = 0 \). Дискриминант: \( 3^{2} — 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49 \). Корни: \( x_{1} = \frac{-3 — 7}{2} = -5 \), \( x_{2} = \frac{-3 + 7}{2} = 2 \). Знак минус между корнями, значит \( -5 < x < 2 \). Но так как \( |x| > 0 \), исключаем \( x = 0 \). Получаем: \( (-5; 0) \cup (0; 2) \).

2) Решаем неравенство \( \sqrt{x(x^{2} + 2x — 8)} \leq 0 \). Корень всегда неотрицателен, значит \( \sqrt{x(x^{2} + 2x — 8)} = 0 \). Подкоренное выражение равно нулю при \( x = 0 \) или \( x^{2} + 2x — 8 = 0 \). Корни: \( x_{1} = -4 \), \( x_{2} = 2 \). Проверяем: \( x = 0 \), \( x = 2 \). Для \( x \in [0; 2] \) подкоренное выражение неотрицательно, поэтому ответ: \( [0; 2] \).

3) Решаем неравенство \( (x — 2)^{2}(x^{2} — 8x — 9) < 0 \). Квадрат всегда неотрицателен, значит знак выражения определяется только \( x^{2} — 8x — 9 \). Корни: \( x^{2} — 8x — 9 = 0 \), \( D = 64 + 36 = 100 \), \( x_{1} = -1 \), \( x_{2} = 9 \). Между корнями выражение отрицательно, то есть \( -1 < x < 9 \). Но при \( x = 2 \) выражение равно нулю, поэтому исключаем \( x = 2 \): \( (-1; 2) \cup (2; 9) \).

4) Решаем неравенство \( (x + 5)^{2}(x^{2} — 2x — 15) > 0 \). Квадрат всегда неотрицателен, знак выражения определяет \( x^{2} — 2x — 15 \). Корни: \( x_{1} = -3 \), \( x_{2} = 5 \). Неравенство выполняется при \( x < -3 \) или \( x > 5 \). При \( x = -5 \) выражение равно нулю, поэтому исключаем \( x = -5 \): \( (-\infty; -5) \cup (-5; -3) \cup (5; +\infty) \).

5) Решаем неравенство \( \frac{x^{2} + 7x — 8}{(x — 4)^{2}} \geq 0 \). Знаменатель всегда положителен при \( x \neq 4 \). Числитель: \( x^{2} + 7x — 8 = 0 \), корни: \( x_{1} = -8 \), \( x_{2} = 1 \). Знак дроби совпадает с числителем: \( x \leq -8 \) или \( x \geq 1 \), но \( x \neq 4 \): \( (-\infty; -8] \cup [1; 4) \cup (4; +\infty) \).

6) Решаем неравенство \( \frac{x^{2} + 10x — 11}{(x + 3)^{2}} \leq 0 \). Знаменатель всегда положителен при \( x \neq -3 \). Числитель: \( x^{2} + 10x — 11 = 0 \), корни: \( x_{1} = -11 \), \( x_{2} = 1 \). Знак дроби совпадает с числителем: \( -11 \leq x \leq 1 \), но \( x \neq -3 \): \( [-11; -3) \cup (-3; 1] \).