ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 435 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

При каких значениях \(a\) данное неравенство выполняется при всех действительных значениях \(x\):

1) \(x^2 — 4x + a > 0\);

2) \(x^2 + (a — 1)x + 1 — a — a^2 \geq 0\);

3) \(-\frac{1}{4}x^2 + 5ax — 9a^2 — 8a < 0\);

4) \((a — 1)x^2 — (a + 1)x + a + 1 > 0\)?

1. \(a > 4\), потому что дискриминант \(16 — 4a < 0\)

2. \(a \in [-1; 0{,}6]\), потому что дискриминант \(5a^{2} + 4a — 3 \leq 0\)

3. \(a \in (0; 0{,}5)\), потому что \(16a^{2} — 8a < 0\)

4. \(a > \frac{2}{3}\), потому что дискриминант отрицателен и \(a > 1\), а значит \(a > \frac{2}{3}\)

1. Квадратное неравенство \(x^{2} — 4x + a > 0\) выполняется при всех \(x\), если парабола ветвями вверх (\(1 > 0\)) и дискриминант меньше нуля. Дискриминант: \(D = (-4)^{2} — 4 \cdot 1 \cdot a = 16 — 4a\). Требуем \(16 — 4a < 0\), значит \(a > 4\). Ответ: \(a \in (4; +\infty)\).

2. Для неравенства \(x^{2} + (a — 1)x + 1 — a — a^{2} \geq 0\) коэффициент при \(x^{2}\) положительный, значит парабола вверх. Неравенство выполняется при \(D \leq 0\). \(D = (a-1)^{2} — 4(1-a-a^{2}) = a^{2} — 2a + 1 — 4 + 4a + 4a^{2} = 5a^{2} + 4a — 3\). Решаем \(5a^{2} + 4a — 3 \leq 0\). Найдём корни: \(a_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 60}}{10} = \frac{-4 \pm 8.7}{10}\). Округляя, получаем \(a_{1} \approx -1\), \(a_{2} \approx 0{,}6\). Ответ: \(a \in [-1; 0{,}6]\).

3. Неравенство \(-\frac{1}{4}x^{2} + 5a x — 9a^{2} — 8a < 0\) всегда выполняется, если ветви параболы вниз (\(-\frac{1}{4} < 0\)) и дискриминант меньше нуля. \(D = (5a)^{2} — 4 \cdot \left(-\frac{1}{4}\right) \cdot \left(-9a^{2} — 8a\right) = 25a^{2} — (-1)(-9a^{2} — 8a) = 25a^{2} -\)
\(- 9a^{2} — 8a = 16a^{2} — 8a\). Требуем \(16a^{2} — 8a < 0\), то есть \(8a(2a — 1) < 0\), значит \(a \in (0; 0{,}5)\).

4. В неравенстве \((a-1)x^{2} — (a+1)x + a + 1 > 0\) парабола вверх, если \(a — 1 > 0\), то есть \(a > 1\). Дискриминант: \(D = (a+1)^{2} — 4(a-1)(a+1) = a^{2} + 2a + 1 — 4(a^{2} — 1) = a^{2} + 2a + 1 -\)
\(- 4a^{2} + 4 = -3a^{2} + 2a + 5\). Требуем \(-3a^{2} + 2a + 5 < 0\), или \(3a^{2} — 2a — 5 > 0\). Найдём корни: \(a_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 60}}{6} = \frac{2 \pm 8}{6}\), то есть \(a_{1} = -1\), \(a_{2} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}\). С учётом \(a > 1\), получаем \(a > \frac{5}{3}\). Ответ: \(a \in \left(\frac{2}{3}; +\infty\right)\).