ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 450 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Решите графически систему уравнений:

1) \(\begin{cases}y=x+2, \\xy=8;\end{cases}\)

2) \(\begin{cases}y=x^2-4, \\2x+y=-1;\end{cases}\)

3) \(\begin{cases}x+y=3, \\x^2+y^2=9.\end{cases}\)

1)
\(y = x + 2\)
\(xy = 8\)
Подставим первое уравнение во второе:
\(x(x + 2) = 8\)
\(x^2 + 2x — 8 = 0\)
\(x_1 = -4\), \(x_2 = 2\)
\(y_1 = -4 + 2 = -2\), \(y_2 = 2 + 2 = 4\)
\((-4; -2),\ (2; 4)\)

2)
\(y = x^2 — 4\)
\(2x + y = -1\)
\(y = -2x — 1\)
\(-2x — 1 = x^2 — 4\)
\(x^2 + 2x — 3 = 0\)
\(x_1 = -3\), \(x_2 = 1\)
\(y_1 = (-3)^2 — 4 = 5\), \(y_2 = 1^2 — 4 = -3\)
\((-3; 5),\ (1; -3)\)

3)
\(x + y = 3\)
\(x^2 + y^2 = 9\)
\(y = 3 — x\)
\(x^2 + (3 — x)^2 = 9\)
\(x^2 + 9 — 6x + x^2 = 9\)
\(2x^2 — 6x = 0\)
\(x(x — 3) = 0\)
\(x_1 = 0\), \(x_2 = 3\)
\(y_1 = 3\), \(y_2 = 0\)
\((0; 3),\ (3; 0)\)

1)

Запишем систему:
\(y = x + 2\)
\(xy = 8\)

Подставим \(y\) из первого уравнения во второе:
\(x(x + 2) = 8\)
\(x^2 + 2x = 8\)
\(x^2 + 2x — 8 = 0\)

Решим квадратное уравнение:
Дискриминант: \(D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36\)
\(x_1 = \frac{-2 + 6}{2} = 2\)
\(x_2 = \frac{-2 — 6}{2} = -4\)

Найдём соответствующие значения \(y\):
Если \(x = 2\), то \(y = 2 + 2 = 4\)
Если \(x = -4\), то \(y = -4 + 2 = -2\)

Ответ: \((-4; -2),\ (2; 4)\)

2)

Запишем систему:
\(y = x^2 — 4\)
\(2x + y = -1\)

Выразим \(y\) из второго уравнения:
\(y = -2x — 1\)

Приравняем правые части:
\(x^2 — 4 = -2x — 1\)
\(x^2 + 2x — 3 = 0\)

Решим квадратное уравнение:
Дискриминант: \(D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16\)
\(x_1 = \frac{-2 + 4}{2} = 1\)
\(x_2 = \frac{-2 — 4}{2} = -3\)

Найдём соответствующие значения \(y\):
Если \(x = 1\), то \(y = 1^2 — 4 = -3\)
Если \(x = -3\), то \(y = (-3)^2 — 4 = 9 — 4 = 5\)

Ответ: \((-3; 5),\ (1; -3)\)

3)

Запишем систему:
\(x + y = 3\)
\(x^2 + y^2 = 9\)

Выразим \(y\) из первого уравнения:
\(y = 3 — x\)

Подставим во второе уравнение:
\(x^2 + (3 — x)^2 = 9\)
\(x^2 + (9 — 6x + x^2) = 9\)
\(x^2 + 9 — 6x + x^2 = 9\)
\(2x^2 — 6x + 9 = 9\)
\(2x^2 — 6x = 0\)
\(2x(x — 3) = 0\)
\(x_1 = 0\), \(x_2 = 3\)

Найдём соответствующие значения \(y\):
Если \(x = 0\), то \(y = 3 — 0 = 3\)
Если \(x = 3\), то \(y = 3 — 3 = 0\)

Ответ: \((0; 3),\ (3; 0)\)