ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 458 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что прямая \(y — x = 3\) является касательной к окружности \((x+5)^2 + y^2 = 2\), найдите координаты точки касания.

Подставляем \(y = x + 3\) в уравнение окружности:
\((x+5)^2 + (x+3)^2 = 2\),
\(x^2 + 10x + 25 + x^2 + 6x + 9 = 2\),
\(2x^2 + 16x + 32 = 0\),
\(x^2 + 8x + 16 = 0\),
\((x+4)^2 = 0\),
\(x = -4\), \(y = -1\).

Расстояние от центра \((-5, 0)\) до прямой \(y-x=3\):
\(\frac{| -1 \cdot (-5) + 1 \cdot 0 — 3 |}{\sqrt{(-1)^2 + 1^2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}\),
радиус окружности \(\sqrt{2}\),
значит, прямая касательная.

Ответ: \((-4; -1)\)

1. Запишем уравнения: прямая \(y — x = 3\), окружность \((x+5)^2 + y^2 = 2\).

2. Выразим \(y\) из уравнения прямой: \(y = x + 3\).

3. Подставим \(y = x + 3\) в уравнение окружности: \((x+5)^2 + (x+3)^2 = 2\).

4. Раскроем скобки: \((x+5)^2 = x^2 + 10x + 25\), \((x+3)^2 = x^2 + 6x + 9\).

5. Сложим: \(x^2 + 10x + 25 + x^2 + 6x + 9 = 2\).

6. Приведём подобные: \(2x^2 + 16x + 34 = 2\).

7. Перенесём 2: \(2x^2 + 16x + 32 = 0\).

8. Разделим на 2: \(x^2 + 8x + 16 = 0\).

9. Представим как квадрат: \((x+4)^2 = 0\).

10. Получаем \(x = -4\). Тогда \(y = x + 3 = -4 + 3 = -1\).

11. Точка касания: \((-4; -1)\).

12. Найдём расстояние от центра окружности \((-5; 0)\) до прямой \(y — x = 3\):
Формула \(\frac{|A x_0 + B y_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}\), где уравнение прямой \(y — x — 3 = 0\), \(A = -1\), \(B = 1\), \(C = -3\).

13. Подставляем: \(\frac{|-1 \cdot (-5) + 1 \cdot 0 — 3|}{\sqrt{(-1)^2 + 1^2}} = \frac{|5 — 3|}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}\).

14. Радиус окружности: \(\sqrt{2}\).

15. Расстояние совпадает с радиусом, значит прямая касательная.

Ответ: \((-4; -1)\).