ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 460 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:

1) \(\begin{cases}\frac{1}{x} — \frac{1}{y} = \frac{1}{12} \\2x — y = 2;\end{cases}\)

2) \(\begin{cases}\frac{4}{x} + \frac{3}{y} = 1, \\x + 5y = 3.\end{cases}2\)

1) Пусть \(y = 2x — 2\). Подставим: \(\frac{1}{x} — \frac{1}{2x-2} = \frac{1}{12}\). Приведём к общему знаменателю: \(\frac{x-2}{x(2x-2)} = \frac{1}{12}\). Получаем \(12(x-2) = x(2x-2)\), то есть \(12x — 24 = 2x^{2} — 2x\), \(2x^{2} — 14x + 24 = 0\), \(x^{2} — 7x + 12 = 0\). Находим корни: \(x = 3\) и \(x = 4\). Тогда \(y = 2 \cdot 3 — 2 = 4\), \(y = 2 \cdot 4 — 2 = 6\). \((3;\ 4),\ (4;\ 6)\)

2) Пусть \(x = 3 — 5y\). Подставим: \(\frac{4}{3-5y} + \frac{3}{y} = 1\). Приведём к общему знаменателю: \(\frac{4y + 9 — 15y}{y(3-5y)} = 1\), \(-11y + 9 = 3y — 5y^{2}\), \(5y^{2} — 14y + 9 = 0\). Находим корни: \(y = 1\) и \(y = 1{,}8\). Тогда \(x = 3 — 5 \cdot 1 = -2\), \(x = 3 — 5 \cdot 1{,}8 = -6\). \((-2;\ 1),\ (-6;\ 1{,}8)\)

1) Пусть \(y = 2x — 2\). Подставим это выражение для \(y\) в исходное уравнение:
\(\frac{1}{x} — \frac{1}{2x-2} = \frac{1}{12}\).

Приведём к общему знаменателю:
\(\frac{1}{x} — \frac{1}{2x-2} = \frac{2x-2 — x}{x(2x-2)} = \frac{x-2}{x(2x-2)}\).

Приравняем к правой части:
\(\frac{x-2}{x(2x-2)} = \frac{1}{12}\).

Решим это уравнение:
\(12(x-2) = x(2x-2)\).
\(12x — 24 = 2x^{2} — 2x\).
\(0 = 2x^{2} — 14x + 24\).
\(2x^{2} — 14x + 24 = 0\).
Разделим на 2:
\(x^{2} — 7x + 12 = 0\).

Найдём корни квадратного уравнения:
\(x_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{49-48}}{2} = \frac{7 \pm 1}{2}\).
\(x_{1} = 4\), \(x_{2} = 3\).

Теперь найдём соответствующие значения \(y\):
Если \(x = 3\), то \(y = 2 \cdot 3 — 2 = 4\).
Если \(x = 4\), то \(y = 2 \cdot 4 — 2 = 6\).

Ответ: \((3;\ 4),\ (4;\ 6)\)

2) Пусть \(x = 3 — 5y\). Подставим это выражение для \(x\) в исходное уравнение:
\(\frac{4}{3-5y} + \frac{3}{y} = 1\).

Приведём к общему знаменателю:
\(\frac{4y + 3(3-5y)}{y(3-5y)} = 1\).
\(\frac{4y + 9 — 15y}{y(3-5y)} = 1\).
\(\frac{-11y + 9}{y(3-5y)} = 1\).

Переносим всё в одну часть:
\(-11y + 9 = y(3-5y)\).
\(-11y + 9 = 3y — 5y^{2}\).
\(5y^{2} — 14y + 9 = 0\).

Решаем квадратное уравнение:
\(y_{1,2} = \frac{14 \pm \sqrt{196 — 180}}{10} = \frac{14 \pm 4}{10}\).
\(y_{1} = \frac{18}{10} = 1{,}8\), \(y_{2} = 1\).

Теперь найдём соответствующие значения \(x\):
Если \(y = 1\), то \(x = 3 — 5 \cdot 1 = -2\).
Если \(y = 1{,}8\), то \(x = 3 — 5 \cdot 1{,}8 = 3 — 9 = -6\).

Ответ: \((-2;\ 1),\ (-6;\ 1{,}8)\)