ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 476 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Решите систему неравенств:
\(\left\{\begin{aligned}2(x — 3) \geq -3(x + 2),\\\dfrac{7x}{3} \leq 1 — \dfrac{x}{2}.\end{aligned}\right.\)

Решение системы неравенств: для первого неравенства \(2(x — 3) \geq -3(x + 2)\) после раскрытия скобок и упрощения получаем \(x \geq 0\). Для второго неравенства \(\frac{7x}{3} \leq 1 — \frac{x}{2}\) после умножения на 6 и упрощения получаем \(x \leq \frac{6}{17}\). Пересечение решений дает \(x \in [0, \frac{6}{17}]\).

Для решения системы неравенств проведем пошаговый анализ каждого из них и найдем общее решение. Рассмотрим систему вида: первая часть \(2(x — 3) \geq -3(x + 2)\), вторая часть \(\frac{7x}{3} \leq 1 — \frac{x}{2}\).

Начнем с первого неравенства \(2(x — 3) \geq -3(x + 2)\). Раскроем скобки, умножив коэффициенты на выражения внутри: слева \(2 \cdot x = 2x\), \(2 \cdot (-3) = -6\), справа \(-3 \cdot x = -3x\), \(-3 \cdot 2 = -6\). Получаем неравенство \(2x — 6 \geq -3x — 6\).

Далее перенесем все слагаемые с переменной \(x\) в левую часть, а константы в правую. Прибавим \(3x\) к обеим сторонам: \(2x + 3x — 6 \geq -6\), что дает \(5x — 6 \geq -6\). Затем прибавим 6 к обеим сторонам: \(5x — 6 + 6 \geq -6 + 6\), то есть \(5x \geq 0\). Разделим обе стороны на 5: \(x \geq 0\). Таким образом, решение первого неравенства: \(x \geq 0\).

Перейдем ко второму неравенству \(\frac{7x}{3} \leq 1 — \frac{x}{2}\). Чтобы избавиться от дробей, умножим обе стороны на 6, так как это наименьшее общее кратное для знаменателей 3 и 2. Получаем: \(6 \cdot \frac{7x}{3} \leq 6 \cdot \left(1 — \frac{x}{2}\right)\), что упрощается до \(14x \leq 6 — 3x\).

Теперь перенесем все слагаемые с \(x\) в левую часть. Прибавим \(3x\) к обеим сторонам: \(14x + 3x \leq 6\), то есть \(17x \leq 6\). Разделим обе стороны на 17: \(x \leq \frac{6}{17}\). Таким образом, решение второго неравенства: \(x \leq \frac{6}{17}\).

Для нахождения общего решения системы неравенств необходимо определить пересечение решений двух неравенств. У нас есть \(x \geq 0\) и \(x \leq \frac{6}{17}\), что в совокупности дает диапазон значений \(x\), удовлетворяющих обоим условиям: \(0 \leq x \leq \frac{6}{17}\).

Итак, итоговое решение системы неравенств записывается как \(x \in [0, \frac{6}{17}]\).