ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 477 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Известно, что \(x_1\) и \(x_2\) — корни уравнения \(x^2 + 6x — 2 = 0\). Найдите значение выражения \(x_1^2 + x_2^2\)

Значение выражения \(x_1^2 + x_2^2\) равно 40. Это получено с использованием теоремы Виета для уравнения \(x^2 + 6x — 2 = 0\), где сумма корней \(x_1 + x_2 = -6\), а произведение \(x_1 \cdot x_2 = -2\). Затем выражение \(x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 — 2x_1x_2\) подставлено значениями: \((-6)^2 — 2(-2) = 36 + 4 = 40\).

1. Дано квадратное уравнение \(x^2 + 6x — 2 = 0\). Необходимо найти значение выражения \(x_1^2 + x_2^2\), где \(x_1\) и \(x_2\) — корни этого уравнения.

2. Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета, которая связывает коэффициенты квадратного уравнения с его корнями. Для уравнения вида \(ax^2 + bx + c = 0\) сумма корней равна \(-b/a\), а произведение корней равно \(c/a\).

3. В нашем уравнении \(x^2 + 6x — 2 = 0\) коэффициенты равны: \(a = 1\), \(b = 6\), \(c = -2\). Подставим эти значения в формулы теоремы Виета.

4. Сумма корней: \(x_1 + x_2 = -b/a = -6/1 = -6\).

5. Произведение корней: \(x_1 \cdot x_2 = c/a = -2/1 = -2\).

6. Теперь нам нужно найти \(x_1^2 + x_2^2\). Для этого используем тождество, которое выражает сумму квадратов через сумму и произведение: \((x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2\).

7. Выразим из этого тождества искомое выражение: \(x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 — 2x_1x_2\).

8. Подставим известные значения суммы и произведения корней: \(x_1 + x_2 = -6\), \(x_1 \cdot x_2 = -2\).

9. Выполним вычисления: \(x_1^2 + x_2^2 = (-6)^2 — 2 \cdot (-2) = 36 + 4 = 40\).

10. Таким образом, значение выражения \(x_1^2 + x_2^2\) равно 40.