ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 480 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

(Задача Леонардо Пизанского (Фибоначчи).) Один говорит другому: «Дай мне 7 динариев, и я буду в 5 раз богаче тебя». А другой говорит: «Дай мне 5 динариев, и я буду в 7 раз богаче тебя». Сколько денег у каждого?

Краткое решение: зададим переменные \(x\) (у первого) и \(y\) (у второго). Из условий получаем систему уравнений: \(x + 7 = 5(y — 7)\) и \(y + 5 = 7(x — 5)\). Решая, из первого уравнения: \(x = 5y — 42\). Подставляем во второе: \(y + 5 = 7(5y — 42 — 5)\), что дает \(y + 5 = 35y — 329\), затем \(34y = 334\), откуда \(y = \frac{334}{34} = \frac{167}{17}\). Тогда \(x = 5 \cdot \frac{167}{17} — 42 = \frac{835}{17} — \frac{714}{17} = \frac{121}{17}\). Ответ: у первого \(\frac{121}{17}\) динариев, у второго \(\frac{167}{17}\) dinaриев. Объяснение: значения дробные, но они удовлетворяют условиям задачи, проверка показывает точное равенство.

1. Рассмотрим задачу о двух людях, у которых есть определенные суммы денег. Обозначим сумму первого человека как \(x\) динариев, а сумму второго как \(y\) динариев. Нам нужно определить, сколько денег у каждого из них, исходя из двух условий, которые они высказывают друг другу.

2. Первое условие гласит, что если второй человек даст первому 7 динариев, то первый станет в 5 раз богаче второго. Это можно записать как уравнение: \(x + 7 = 5(y — 7)\). Здесь \(x + 7\) — это сумма первого после получения 7 динариев, а \(y — 7\) — оставшаяся сумма второго.

3. Раскроем скобки в этом уравнении: \(x + 7 = 5y — 35\). Перенесем слагаемые, чтобы выразить \(x\) через \(y\): \(x = 5y — 35 — 7\), что дает \(x = 5y — 42\). Это первое уравнение нашей системы.

4. Второе условие гласит, что если первый человек даст второму 5 динариев, то второй станет в 7 раз богаче первого. Это записывается как уравнение: \(y + 5 = 7(x — 5)\). Здесь \(y + 5\) — сумма второго после получения 5 динариев, а \(x — 5\) — оставшаяся сумма первого.

5. Раскроем скобки во втором уравнении: \(y + 5 = 7x — 35\). Перенесем слагаемые, чтобы выразить \(y\) через \(x\): \(y = 7x — 35 — 5\), что дает \(y = 7x — 40\). Это второе уравнение системы.

6. Теперь у нас есть система из двух уравнений: \(x = 5y — 42\) и \(y = 7x — 40\). Чтобы решить ее, подставим выражение для \(x\) из первого уравнения во второе: \(y = 7(5y — 42) — 40\).

7. Выполним вычисления: раскроем скобки, получаем \(y = 35y — 294 — 40\), что упрощается до \(y = 35y — 334\). Перенесем слагаемые с \(y\) в одну сторону: \(y — 35y = -334\), что дает \(-34y = -334\).

8. Разделим обе стороны на \(-34\): \(y = \frac{334}{34}\). Упростим дробь, разделив числитель и знаменатель на 2: \(y = \frac{167}{17}\). Это значение суммы второго человека.

9. Теперь найдем \(x\), подставив \(y = \frac{167}{17}\) в первое уравнение: \(x = 5 \cdot \frac{167}{17} — 42\). Считаем: \(5 \cdot \frac{167}{17} = \frac{835}{17}\), а \(42 = \frac{714}{17}\), поэтому \(x = \frac{835}{17} — \frac{714}{17} = \frac{121}{17}\). Это сумма первого человека.

10. Ответ: у первого человека \(\frac{121}{17}\) динариев, у второго человека \(\frac{167}{17}\) dinaриев. Эти значения, хотя и дробные, удовлетворяют обоим условиям задачи, что можно проверить подстановкой в исходные уравнения.