ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 481 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Из села А в село В, расстояние между которыми равно 140 км, выехал мотоциклист. За 20 мин до этого навстречу ему из В в А выехал велосипедист, который встретился с мотоциклистом через 2 ч после своего выезда. Найдите скорость каждого из них, если мотоциклист за 2 ч проезжает на 104 км больше, чем велосипедист за 4 ч.

Скорость велосипедиста \( x = 10 \) км/ч, скорость мотоциклиста \( y = 72 \) км/ч. Решение основано на системе уравнений: первое уравнение \( 6x + 5y = 420 \) отражает встречу через 2 часа для велосипедиста и \( \frac{5}{3} \) часа для мотоциклиста на расстоянии 140 км; второе уравнение \( y = 2x + 52 \) учитывает, что за 2 часа мотоциклист проезжает на 104 км больше, чем велосипедист за 4 часа. Подставив \( y \) в первое уравнение, получаем \( x = 10 \), затем \( y = 72 \).

1. Рассмотрим условие задачи: расстояние между селами А и В составляет 140 км. Велосипедист выехал из В в А на 20 минут раньше, чем мотоциклист из А в В. Они встретились через 2 часа после выезда велосипедиста. Также известно, что за 2 часа мотоциклист проезжает на 104 км больше, чем велосипедист за 4 часа. Требуется найти скорости обоих.

2. Введем переменные для скоростей: пусть скорость велосипедиста равна \( x \) км/ч, а скорость мотоциклиста — \( y \) км/ч. Эти переменные помогут нам составить уравнения на основе условий задачи.

3. Определим время движения каждого до момента встречи. Велосипедист ехал 2 часа, так как встреча произошла через 2 часа после его выезда. Мотоциклист выехал на 20 минут позже, что составляет \( \frac{20}{60} = \frac{1}{3} \) часа, поэтому его время движения до встречи равно \( 2 — \frac{1}{3} = \frac{5}{3} \) часа.

4. Составим первое уравнение на основе того, что суммарное расстояние, пройденное велосипедистом и мотоциклистом до встречи, равно 140 км. Расстояние, пройденное велосипедистом, равно \( 2x \) км, а мотоциклистом — \( y \cdot \frac{5}{3} \) км. Таким образом, уравнение принимает вид \( 2x + \frac{5}{3}y = 140 \).

5. Чтобы упростить расчеты, умножим обе части первого уравнения на 3, чтобы избавиться от дроби. Получаем \( 6x + 5y = 420 \). Это уравнение будет основой для дальнейших вычислений.

6. Перейдем ко второму условию задачи: за 2 часа мотоциклист проезжает на 104 км больше, чем велосипедист за 4 часа. Расстояние, пройденное мотоциклистом за 2 часа, равно \( 2y \) км, а велосипедистом за 4 часа — \( 4x \) км. Следовательно, уравнение имеет вид \( 2y = 4x + 104 \).

7. Упростим второе уравнение, разделив обе части на 2. Получаем \( y = 2x + 52 \). Это выражение позволяет выразить скорость мотоциклиста через скорость велосипедиста.

8. Подставим значение \( y = 2x + 52 \) в первое уравнение \( 6x + 5y = 420 \). После подстановки получаем \( 6x + 5(2x + 52) = 420 \). Раскроем скобки: \( 6x + 10x + 260 = 420 \), что упрощается до \( 16x + 260 = 420 \).

9. Решаем уравнение для \( x \): вычтем 260 из обеих частей, получаем \( 16x = 160 \), откуда \( x = 10 \) км/ч. Таким образом, скорость велосипедиста равна 10 км/ч.

10. Найдем скорость мотоциклиста, подставив \( x = 10 \) в выражение \( y = 2x + 52 \). Получаем \( y = 2 \cdot 10 + 52 = 20 + 52 = 72 \) км/ч. Следовательно, скорость мотоциклиста равна 72 км/ч. Ответ: скорость велосипедиста — 10 км/ч, скорость мотоциклиста — 72 км/ч.