ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 488 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Из одного города в другой, расстояние между которыми равно 240 км, выехали одновременно автобус и автомобиль. Автобус прибыл в пункт назначения на 1 ч позже автомобиля. Найдите скорости автомобиля и автобуса, если за 2 ч автобус проезжает на 40 км больше, чем автомобиль за 1 ч.

Пусть \(x\) — скорость автобуса, \(y\) — скорость машины.

По условию: \(2x = y + 40\), значит \(y = 2x — 40\).

Время автобуса: \(\frac{240}{x}\), время машины: \(\frac{240}{y}\).

Автобус приехал на 1 час позже: \(\frac{240}{x} = \frac{240}{y} + 1\), то есть \(\frac{240}{x} — \frac{240}{y} = 1\).

Подставим \(y\):

\(\frac{240}{x} — \frac{240}{2x-40} = 1\)

\(\frac{240(2x-40) — 240x}{x(2x-40)} = 1\)

\(480x — 9600 — 240x = x(2x-40)\)

\(240x — 9600 = 2x^{2} — 40x\)

\(2x^{2} — 280x + 9600 = 0\)

\(x^{2} — 140x + 4800 = 0\)

\(D = 140^{2} — 4 \cdot 4800 = 19600 — 19200 = 400\)

\(x_{1} = \frac{140 — 20}{2} = 60\)

\(x_{2} = \frac{140 + 20}{2} = 80\)

\(y_{1} = 2 \cdot 60 — 40 = 80\)

\(y_{2} = 2 \cdot 80 — 40 = 120\)

Пусть \(x\) — скорость автобуса в километрах в час, а \(y\) — скорость машины в километрах в час. По условию задачи, автобус за 2 часа проезжает столько же, сколько машина за 1 час, да ещё и на 40 км меньше. Это можно записать уравнением: \(2x = y + 40\). Перенесём \(y\) в одну сторону, а 40 — в другую: \(2x — y = 40\). Тогда выразим скорость машины через скорость автобуса: \(y = 2x — 40\).

Далее по условию известно, что автобус проехал 240 км, а машина — тоже 240 км, но автобус затратил на дорогу на 1 час больше, чем машина. Время, затраченное автобусом, можно выразить как \(\frac{240}{x}\), а время, затраченное машиной — как \(\frac{240}{y}\). Так как автобус приехал позже, то разность этих времён равна 1 часу: \(\frac{240}{x} = \frac{240}{y} + 1\). Перенесём \(\frac{240}{y}\) влево: \(\frac{240}{x} — \frac{240}{y} = 1\).

Теперь подставим вместо \(y\) выражение \(2x — 40\): \(\frac{240}{x} — \frac{240}{2x-40} = 1\). Приведём к общему знаменателю: общий знаменатель \(x(2x-40)\). Тогда числитель будет \(240(2x-40) — 240x\). Получаем: \(\frac{480x — 9600 — 240x}{x(2x-40)} = 1\). Упростим числитель: \(480x — 240x = 240x\), получаем \(\frac{240x — 9600}{x(2x-40)} = 1\).

Далее раскрываем скобки в знаменателе: \(x(2x-40) = 2x^{2} — 40x\). Теперь умножим обе части уравнения на знаменатель, чтобы избавиться от дроби: \(240x — 9600 = 2x^{2} — 40x\). Перенесём всё в одну сторону: \(2x^{2} — 40x — 240x + 9600 = 0\), то есть \(2x^{2} — 280x + 9600 = 0\). Разделим обе части уравнения на 2 для удобства: \(x^{2} — 140x + 4800 = 0\).

Теперь найдём дискриминант: \(D = 140^{2} — 4 \cdot 4800 = 19600 — 19200 = 400\). Корни квадратного уравнения: \(x_{1} = \frac{140 — 20}{2} = 60\), \(x_{2} = \frac{140 + 20}{2} = 80\). Подставим значения \(x\) в выражение для \(y\): если \(x = 60\), то \(y = 2 \cdot 60 — 40 = 80\); если \(x = 80\), то \(y = 2 \cdot 80 — 40 = 120\). Значит, возможны два ответа: скорость автобуса — 60 км/ч, скорость машины — 80 км/ч; либо скорость автобуса — 80 км/ч, скорость машины — 120 км/ч.

Проверим оба найденных решения. Для первого случая: автобус — 60 км/ч, машина — 80 км/ч. Время автобуса: \(\frac{240}{60} = 4\) часа, время машины: \(\frac{240}{80} = 3\) часа. Разница во времени: \(4 — 3 = 1\) час, условие выполняется. Для второго случая: автобус — 80 км/ч, машина — 120 км/ч. Время автобуса: \(\frac{240}{80} = 3\) часа, время машины: \(\frac{240}{120} = 2\) часа. Разница: \(3 — 2 = 1\) час, также условие выполняется.