ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 490 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

От станции М в направлении станции N, расстояние между которыми равно 450 км, отправился скорый поезд. Через 3 ч после этого от станции N в направлении станции М отправился товарный поезд, который встретился со скорым через 3 ч после своего выхода. Скорый поезд преодолевает расстояние между станциями М и N на 7 ч 30 мин быстрее, чем товарный. Найдите скорость каждого поезда.

Пусть \(x\) — скорость скорого, \(y\) — скорость товарного.

Скорый был в пути \(3+3=6\) ч, товарный — \(3\) ч.
\(6x + 3y = 450\)
\(2x + y = 150\)
\(y = 150 — 2x\)

Скорый проходит весь путь за \(\frac{450}{x}\), товарный — за \(\frac{450}{y}\).
\(\frac{450}{y} — \frac{450}{x} = 7 + \frac{30}{60} = \frac{15}{2}\)

Подставим \(y\):
\(\frac{450}{150-2x} — \frac{450}{x} = \frac{15}{2}\)

Домножим на \(2x(150-2x)\):
\(900x — 900(150-2x) = 15x(150-2x)\)
\(900x — 135000 + 1800x = 2250x — 30x^2\)
\(900x + 1800x — 2250x + 30x^2 — 135000 = 0\)
\(450x + 30x^2 — 135000 = 0\)
\(x^2 + 15x — 4500 = 0\)

\(D = 15^2 + 4 \cdot 4500 = 225 + 18000 = 18225\)
\(\sqrt{18225} = 135\)

\(x_1 = \frac{-15 — 135}{2} = -75\)
\(x_2 = \frac{-15 + 135}{2} = 60\)

\(y = 150 — 2 \cdot 60 = 30\)

Ответ: \(60\) км/ч и \(30\) км/ч

1. Пусть \(x\) км/ч — скорость скорого поезда, \(y\) км/ч — скорость товарного поезда.

2. Скорый поезд был в пути до встречи \(3+3=6\) ч, товарный — \(3\) ч.

3. За это время они вместе прошли \(450\) км: \(6x + 3y = 450\).

4. Разделим обе части на \(3\): \(2x + y = 150\).

5. Выразим \(y\): \(y = 150 — 2x\).

6. Время движения скорого поезда по всему пути: \(\frac{450}{x}\), товарного: \(\frac{450}{y}\).

7. По условию, скорый проходит путь на \(7\) ч \(30\) мин быстрее, то есть на \(\frac{15}{2}\) ч: \(\frac{450}{y} — \frac{450}{x} = \frac{15}{2}\).

8. Подставим \(y\) из пункта 5: \(\frac{450}{150-2x} — \frac{450}{x} = \frac{15}{2}\).

9. Приведём к общему знаменателю: \(\frac{450x — 450(150-2x)}{x(150-2x)} = \frac{15}{2}\).

10. Раскроем скобки: \(450x — 67500 + 900x = 1350x — 67500\).

11. Получим: \(\frac{1350x — 67500}{x(150-2x)} = \frac{15}{2}\).

12. Перемножим крест-накрест: \(2(1350x — 67500) = 15x(150-2x)\).

13. \(2700x — 135000 = 2250x — 30x^2\).

14. Перенесём всё в одну часть: \(2700x — 2250x + 30x^2 — 135000 = 0\).

15. \(450x + 30x^2 — 135000 = 0\).

16. Разделим на \(15\): \(30x^2 + 450x — 135000 = 0\), \(x^2 + 15x — 4500 = 0\).

17. Найдём дискриминант: \(D = 15^2 + 4 \cdot 4500 = 225 + 18000 = 18225\).

18. \(\sqrt{18225} = 135\).

19. \(x_1 = \frac{-15 + 135}{2} = 60\), \(x_2 = \frac{-15 — 135}{2} = -75\) (отрицательное не подходит).

20. \(x = 60\) км/ч.

21. \(y = 150 — 2 \cdot 60 = 30\) км/ч.

Ответ: \(60\) км/ч и \(30\) км/ч