ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 493 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Две бригады, работая вместе, могут выполнить производственное задание за 8 дней. Если первая бригада, работая самостоятельно, выполнит \( \frac{1}{3} \) задания, а затем её сменит вторая бригада, то задание будет выполнено за 20 дней. За сколько дней каждая бригада может выполнить данное производственное задание, работая самостоятельно?

Пусть \(x\) — дни для первой бригады, \(y\) — для второй.

\(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{8}\)

\(\frac{x}{3} + \frac{2y}{3} = 20\)

\(x + 2y = 60\)

\(x = 60 — 2y\)

\(\frac{1}{60-2y} + \frac{1}{y} = \frac{1}{8}\)

\(\frac{y + 60 — 2y}{y(60-2y)} = \frac{1}{8}\)

\(\frac{60-y}{y(60-2y)} = \frac{1}{8}\)

\(8(60-y) = y(60-2y)\)

\(480 — 8y = 60y — 2y^{2}\)

\(2y^{2} — 68y + 480 = 0\)

\(y^{2} — 34y + 240 = 0\)

\(D = 34^{2} — 4 \cdot 240 = 196\)

\(y_{1} = \frac{34 — 14}{2} = 10\)

\(y_{2} = \frac{34 + 14}{2} = 24\)

\(x_{1} = 60 — 2 \cdot 10 = 40\)

\(x_{2} = 60 — 2 \cdot 24 = 12\)

1. Пусть \(x\) — количество дней, за которые первая бригада выполнит всю работу одна, а \(y\) — количество дней, за которые вторая бригада выполнит всю работу одна.

2. За один день первая бригада выполняет \(\frac{1}{x}\) работы, вторая — \(\frac{1}{y}\) работы. Вместе за один день они выполняют \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\) работы. Всю работу вместе они выполняют за 8 дней, значит, \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{8}\).

3. Если первую треть работы выполняет первая бригада, а оставшиеся две трети — вторая бригада, то на первую треть уйдет \(\frac{x}{3}\) дней, а на две трети — \(\frac{2y}{3}\) дней. Всего на работу ушло 20 дней, значит, \(\frac{x}{3} + \frac{2y}{3} = 20\).

4. Умножим уравнение \(\frac{x}{3} + \frac{2y}{3} = 20\) на 3: \(x + 2y = 60\).

5. Выразим \(x\) через \(y\): \(x = 60 — 2y\).

6. Подставим \(x\) в первое уравнение: \(\frac{1}{60 — 2y} + \frac{1}{y} = \frac{1}{8}\).

7. Приведём к общему знаменателю: \(\frac{y + 60 — 2y}{y(60-2y)} = \frac{1}{8}\), то есть \(\frac{60 — y}{y(60-2y)} = \frac{1}{8}\).

8. Перемножим крест-накрест: \(8(60 — y) = y(60 — 2y)\).

9. Раскроем скобки: \(480 — 8y = 60y — 2y^{2}\).

10. Перенесём всё в одну сторону: \(2y^{2} — 68y + 480 = 0\), поделим на 2: \(y^{2} — 34y + 240 = 0\).

11. Найдём дискриминант: \(D = 34^{2} — 4 \cdot 240 = 1156 — 960 = 196\).

12. Найдём корни: \(y_{1} = \frac{34 — 14}{2} = 10\), \(y_{2} = \frac{34 + 14}{2} = 24\).

13. Найдём \(x_{1}\) и \(x_{2}\): \(x_{1} = 60 — 2 \cdot 10 = 40\), \(x_{2} = 60 — 2 \cdot 24 = 12\).