ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 494 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Если открыть одновременно две трубы, то бассейн будет наполнен за 12 ч. Если сначала наполнять бассейн только через первую трубу в течение 5 ч, а затем только через вторую в течение 9 ч, то водой будет наполнена половина бассейна. За сколько часов может быть наполнен бассейн отдельно через каждую трубу?

Пусть \(x\) — время заполнения первой трубой, \(y\) — второй.

По условию:
\(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{12}\)
\(\frac{5}{x} + \frac{9}{y} = \frac{1}{2}\)

Домножим первое уравнение на \(12xy\):
\(12y + 12x = xy\)

Домножим второе уравнение на \(2xy\):
\(10y + 18x = xy\)

Вычтем первое из второго:
\((10y + 18x) — (12y + 12x) = 0\)
\(10y + 18x — 12y — 12x = 0\)
\(-2y + 6x = 0\)
\(6x = 2y\)
\(y = 3x\)

Подставим \(y = 3x\) в первое уравнение:
\(12 \cdot 3x + 12x = x \cdot 3x\)
\(36x + 12x = 3x^{2}\)
\(48x = 3x^{2}\)
\(x^{2} = 16x\)
\(x = 16\)

\(y = 3 \cdot 16 = 48\)

16 ч и 48 ч

1. Пусть \(x\) — время, за которое первая труба наполняет бассейн одна, а \(y\) — время, за которое вторая труба наполняет бассейн одна.

2. За 1 час первая труба наполняет \(\frac{1}{x}\) бассейна, вторая — \(\frac{1}{y}\) бассейна.

3. Вместе за 1 час они наполняют \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\) бассейна. По условию, обе трубы вместе наполняют бассейн за 12 часов, значит:
\(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{12}\).

4. Первая труба работала 5 часов, затем вторая 9 часов. За это время заполнено \(\frac{1}{2}\) бассейна:
\(5 \cdot \frac{1}{x} + 9 \cdot \frac{1}{y} = \frac{1}{2}\).

5. Получили систему:
\(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{12}\)
\(5 \cdot \frac{1}{x} + 9 \cdot \frac{1}{y} = \frac{1}{2}\)

6. Преобразуем первое уравнение:
\(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{12}\)
Домножим на \(12xy\):
\(12y + 12x = xy\).

7. Преобразуем второе уравнение:
\(5 \cdot \frac{1}{x} + 9 \cdot \frac{1}{y} = \frac{1}{2}\)
Домножим на \(2xy\):
\(10y + 18x = xy\).

8. Получили систему:
\(12y + 12x = xy\)
\(10y + 18x = xy\)

9. Вычтем первое уравнение из второго:
\((10y + 18x) — (12y + 12x) = 0\)
\(10y + 18x — 12y — 12x = 0\)
\(-2y + 6x = 0\)
\(6x = 2y\)
\(y = 3x\)

10. Подставим \(y = 3x\) в любое из уравнений, например, в \(12y + 12x = xy\):
\(12 \cdot 3x + 12x = x \cdot 3x\)
\(36x + 12x = 3x^{2}\)
\(48x = 3x^{2}\)
\(x^{2} = 16x\)
\(x = 16\)

\(y = 3 \cdot 16 = 48\)

16 ч и 48 ч