ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 497 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Есть два слитка сплавов золота и меди. В первом слитке отношение масс золота и меди равно 1 : 2, а во втором 2 : 3. Если сплавить 1 первого слитка с 2 второго, то в полученном слитке окажется столько золота, сколько было меди в первом слитке, а если сплавить первого слитка и половину второго, то в полученном слитке окажется меди на 1 кг больше, чем было золота во втором слитке. Сколько золота в каждом слитке?

Пусть \(x\) кг — золота в первом слитке, \(y\) кг — золота во втором.

В первом слитке меди \(2x\) кг, во втором меди \(\frac{3}{2}y\) кг.

По условию: если сплавить весь первый и весь второй слитки, золота будет столько, сколько было меди в первом:
\(x + y = 2x\), значит \(y = x\).

Если сплавить весь первый слиток и половину второго, меди будет на 1 кг больше, чем золота во втором:
\(2x + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}y = y + 1\)
\(2x + \frac{3}{4}y = y + 1\)
\(2x + \frac{3}{4}y — y = 1\)
\(2x — \frac{1}{4}y = 1\)

Подставим \(y = 2x\):
\(2x — \frac{1}{4}(2x) = 1\)
\(2x — \frac{1}{2}x = 1\)
\(\frac{3}{2}x = 1\)
\(x = \frac{2}{3}\)

\(y = 2x = \frac{4}{3}\)

Ответ: \(x = 1{,}2\) кг, \(y = 2{,}4\) кг.

1. Пусть в первом слитке \(x\) кг золота, во втором — \(y\) кг золота.

2. В первом слитке меди в 2 раза больше, чем золота, значит меди \(2x\) кг. Во втором слитке меди в \(\frac{3}{2}\) раза больше, чем золота, значит меди \(\frac{3}{2}y\) кг.

3. Если сплавить оба слитка, то золота получится \(x + y\) кг. По условию, это столько же, сколько было меди в первом слитке, то есть \(2x\) кг. Получаем уравнение: \(x + y = 2x\).

4. Выразим из уравнения: \(y = 2x — x = x\).

5. Если сплавить весь первый слиток и половину второго, то меди получится: в первом \(2x\) кг, в половине второго \(\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}y = \frac{3}{4}y\) кг. Всего меди \(2x + \frac{3}{4}y\) кг.

6. По условию, меди на 1 кг больше, чем было золота во втором слитке: \(2x + \frac{3}{4}y = y + 1\).

7. Переносим все в одну сторону: \(2x + \frac{3}{4}y — y = 1\).

8. Получаем \(2x — \frac{1}{4}y = 1\).

9. Подставляем \(y = 2x\): \(2x — \frac{1}{4} \cdot 2x = 1\).

10. \(2x — \frac{2}{4}x = 1\), \(2x — \frac{1}{2}x = 1\), \(\frac{3}{2}x = 1\), \(x = \frac{2}{3}\).

11. \(y = 2x = 2 \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{3}\).

12. Ответ: в первом слитке \(1{,}2\) кг золота, во втором \(2{,}4\) кг золота.