ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 500 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Из городов А и В, расстояние между которыми 40 км, одновременно навстречу друг другу выехали два велосипедиста, один из которых прибыл в город В через 40 мин, а другой — в город А через 1,5 ч после встречи. Найдите скорость движения каждого велосипедиста.

Пусть \(x\) км/ч — скорость первого, \(y\) км/ч — скорость второго.

\( \frac{40}{60} \cdot x = t y \), значит \( t = \frac{2x}{3y} \)

\( 1{,}5 y = t x \), значит \( t = \frac{3y}{2x} \)

Приравниваем: \( \frac{2x}{3y} = \frac{3y}{2x} \)

\( 4x^{2} = 9y^{2} \), \( \frac{x^{2}}{y^{2}} = \frac{9}{4} \), \( x = \frac{3}{2} y \)

\( \frac{40}{60} x + 1{,}5 y = 40 \)

\( \frac{2}{3} x + \frac{3}{2} y = 40 \)

\( 4x + 9y = 240 \)

Подставим \( x = \frac{3}{2} y \):

\( 4 \cdot \frac{3}{2} y + 9y = 240 \)

\( 6y + 9y = 240 \)

\( 15y = 240 \)

\( y = 16 \)

\( x = \frac{3}{2} \cdot 16 = 24 \)

24 км/ч и 16 км/ч

1. Пусть \(x\) км/ч — скорость первого велосипедиста, \(y\) км/ч — второго. Расстояние между городами 40 км. Пусть до встречи они проехали \(t\) часов.

2. После встречи первый доезжает до города B за 40 минут, то есть за \(\frac{2}{3}\) часа. Значит, расстояние от места встречи до города B он проезжает со скоростью \(x\) за \(\frac{2}{3}\) часа, то есть это расстояние равно \(x \cdot \frac{2}{3}\).

3. Второй доезжает до города A за 1,5 часа, значит расстояние от места встречи до города A он проезжает со скоростью \(y\) за 1,5 часа, то есть это расстояние равно \(y \cdot 1{,}5\).

4. До встречи первый проехал \(x t\), второй — \(y t\). Сумма этих расстояний равна 40 км: \(x t + y t = 40\).

5. После встречи первый проезжает путь, который до встречи прошёл второй, а второй — путь, который до встречи прошёл первый. Поэтому \(x \cdot \frac{2}{3} = y t\) и \(y \cdot 1{,}5 = x t\).

6. Выразим \(t\) из обоих уравнений: \(t = \frac{2x}{3y}\) и \(t = \frac{3y}{2x}\).

7. Приравняем выражения для \(t\): \(\frac{2x}{3y} = \frac{3y}{2x}\).

8. Перемножим крест-накрест: \(4x^{2} = 9y^{2}\).

9. Разделим обе части на \(y^{2}\): \(\frac{x^{2}}{y^{2}} = \frac{9}{4}\), значит \(x = \frac{3}{2}y\).

10. Подставим \(x\) в уравнение из пункта 4: \(x t + y t = 40\), то есть \((x + y)t = 40\).

11. Подставим \(t = \frac{2x}{3y}\): \((x + y) \cdot \frac{2x}{3y} = 40\).

12. Умножим обе части на 3y: \(2x(x + y) = 120y\).

13. Подставим \(x = \frac{3}{2}y\): \(2 \cdot \frac{3}{2}y \left( \frac{3}{2}y + y \right) = 120y\).

14. \(3y \left( \frac{5}{2}y \right) = 120y\).

15. \(\frac{15}{2}y^{2} = 120y\).

16. \(15y^{2} = 240y\).

17. \(y^{2} = 16y\).

18. \(y = 16\) км/ч.

19. \(x = \frac{3}{2} \cdot 16 = 24\) км/ч.

20. 24 км/ч и 16 км/ч