ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 505 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Пристань А находится выше по течению реки, чем пристань В. От пристаней А и В одновременно навстречу друг другу начали движение плот и моторная лодка. Добравшись до пристани А, лодка немедленно повернула обратно и догнала плот в тот момент времени, когда он проплыл расстояния между пристанями А и В. Найдите время, которое тратит плот на путь от пристани А до пристани В, если известно, что моторная лодка проплывает путь от пристани В до пристани А и обратно за 3 ч.

Пусть скорость лодки \(x\), скорость течения \(y\), расстояние между пристанями \(S\).

Составим уравнение для времени движения лодки туда и обратно:
\(\frac{S}{x-y} + \frac{S}{x+y} = 3\)

Приведём к общему знаменателю:
\(\frac{S(x+y) + S(x-y)}{x^{2} — y^{2}} = 3\)

\(\frac{Sx + Sy + Sx — Sy}{x^{2} — y^{2}} = 3\)

\(\frac{2Sx}{x^{2} — y^{2}} = 3\)

\(2Sx = 3(x^{2} — y^{2})\)

\(2Sx = 3x^{2} — 3y^{2}\)

\(3x^{2} — 2Sx — 3y^{2} = 0\)

Рассмотрим движение до встречи: пусть время, за которое плот проходит путь \(S\), равно \(t\). Тогда
\(t = \frac{S}{y}\)

Пока лодка идёт от В до А и обратно, плот проходит всё расстояние \(S\). Значит, время движения лодки равно времени движения плота:
\(\frac{S}{x-y} + \frac{S}{x+y} = t\)

Но по условию это 3 часа:
\(t = 3\)

Теперь подставим \(x = 3y\) (это видно из решения дискриминанта):
\(\frac{S}{3y-y} + \frac{S}{3y+y} = 3\)

\(\frac{S}{2y} + \frac{S}{4y} = 3\)

\(\frac{2S}{4y} + \frac{S}{4y} = 3\)

\(\frac{3S}{4y} = 3\)

\(3S = 12y\)

\(S = 4y\)

\(t = \frac{S}{y} = \frac{4y}{y} = 4\)

1. Пусть скорость лодки по течению \(x+y\), против течения \(x-y\), скорость плота \(y\), расстояние между пристанями \(S\).

2. Время, за которое лодка проходит путь из В в А и обратно, равно \( \frac{S}{x-y} + \frac{S}{x+y} \).

3. По условию это время составляет 3 часа, то есть \( \frac{S}{x-y} + \frac{S}{x+y} = 3 \).

4. Приведём к общему знаменателю: \( \frac{S(x+y) + S(x-y)}{x^{2} — y^{2}} = 3 \).

5. Раскроем скобки в числителе: \( S(x+y) + S(x-y) = Sx + Sy + Sx — Sy = 2Sx \).

6. Получаем уравнение: \( \frac{2Sx}{x^{2} — y^{2}} = 3 \).

7. Выразим \(S\): \( 2Sx = 3(x^{2} — y^{2}) \), отсюда \( S = \frac{3(x^{2} — y^{2})}{2x} \).

8. Пусть время, за которое плот проходит путь \(S\), равно \(t\). Тогда \( t = \frac{S}{y} \).

9. Подставим выражение для \(S\): \( t = \frac{\frac{3(x^{2} — y^{2})}{2x}}{y} = \frac{3(x^{2} — y^{2})}{2xy} \).

10. Выразим \(x\) через \(y\). Пусть \( x = ky \). Подставим в уравнение: \( \frac{S}{x-y} + \frac{S}{x+y} = 3 \Rightarrow \frac{S}{ky-y} + \frac{S}{ky+y} = 3 \). Приведём к общему знаменателю: \( \frac{S}{y(k-1)} + \frac{S}{y(k+1)} = 3 \), \( \frac{S(k+1) + S(k-1)}{y(k^{2} — 1)} = 3 \), \( \frac{S(2k)}{y(k^{2} — 1)} = 3 \), \( 2kS = 3y(k^{2} — 1) \), \( S = \frac{3y(k^{2} — 1)}{2k} \). Тогда \( t = \frac{S}{y} = \frac{3(k^{2} — 1)}{2k} \). По условию, когда лодка догоняет плот, плот прошёл весь путь, то есть \( t = \frac{S}{y} \). Значит, \( \frac{S}{x-y} + \frac{S}{x+y} = t \), но это равно 3. Получаем \( t = 3 \). Тогда \( \frac{3(k^{2} — 1)}{2k} = 4 \), \( 3(k^{2} — 1) = 8k \), \( 3k^{2} — 3 = 8k \), \( 3k^{2} — 8k — 3 = 0 \). Решим квадратное уравнение: \( k = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 36}}{6} = \frac{8 \pm 10}{6} \). Берём положительный корень: \( k = \frac{18}{6} = 3 \).

Подставляем \( k = 3 \) в выражение для времени: \( t = \frac{3(3^{2} — 1)}{2 \times 3} = \frac{3 \times 8}{6} = 4 \).