ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 507 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

В 7 ч утра от первого причала отплыли две лодки. Сначала они плыли 8 км по озеру, а затем 5 км по течению реки до второго причала. Первая лодка приплыла в место назначения не позже 9 ч 50 мин, а вторая — не раньше 10 ч 40 мин того же дня. Чему равна скорость каждой лодки в стоячей воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч, а скорость второй лодки в стоячей воде составляет 75 % скорости первой лодки в стоячей воде?

Пусть \(x\) км/ч — скорость первой лодки, \(y\) км/ч — скорость второй лодки.

По условию: \(y = 0{,}75x\)

Для первой лодки: \(\frac{8}{x} + \frac{5}{x+2} \leq 2 + \frac{5}{6} = \frac{17}{6}\)

Домножим на \(6(x+2)x\):

\(48(x+2) + 30x \leq 17x(x+2)\)

\(48x + 96 + 30x \leq 17x^{2} + 34x\)

\(78x + 96 \leq 17x^{2} + 34x\)

\(17x^{2} — 44x — 96 \geq 0\)

\(D = (-44)^{2} — 4 \cdot 17 \cdot (-96) = 8464\)

\(x_{1,2} = \frac{44 \pm 92}{34}\)

\(x_{1} = \frac{44-92}{34} = -\frac{48}{34}\) (не подходит)

\(x_{2} = \frac{44+92}{34} = \frac{136}{34} = 4\)

\(x \geq 4\)

Для второй лодки: \(\frac{8}{y} + \frac{5}{y+2} \geq 3 + \frac{2}{3} = \frac{11}{3}\)

Домножим на \(3(y+2)y\):

\(24(y+2) + 15y \geq 11y(y+2)\)

\(24y + 48 + 15y \geq 11y^{2} + 22y\)

\(39y + 48 \geq 11y^{2} + 22y\)

\(11y^{2} — 17y — 48 \leq 0\)

\(D = (-17)^{2} — 4 \cdot 11 \cdot (-48) = 2401\)

\(y_{1,2} = \frac{17 \pm 49}{22}\)

\(y_{1} = \frac{17-49}{22} = -\frac{32}{22}\) (не подходит)

\(y_{2} = \frac{17+49}{22} = \frac{66}{22} = 3\)

\(y \leq 3\)

\(y = 0{,}75x \leq 3\), значит \(x \leq 4\)

\(x \geq 4, x \leq 4\), значит \(x = 4\)

\(y = 0{,}75 \cdot 4 = 3\)

\(4\) км/ч и \(3\) км/ч

1. Пусть \(x\) км/ч — скорость первой лодки, \(y\) км/ч — скорость второй лодки. По условию \(y = 0{,}75x\).

2. Первая лодка проплывает 8 км по озеру и 5 км по реке по течению (скорость течения 2 км/ч). Время в пути: \(\frac{8}{x} + \frac{5}{x+2}\). Она приплыла не позже 9:50, то есть за 2 часа 50 минут (\(2 + \frac{50}{60} = 2 + \frac{5}{6} = \frac{17}{6}\) ч). Получаем неравенство: \(\frac{8}{x} + \frac{5}{x+2} \leq \frac{17}{6}\).

3. Домножим обе части на \(6x(x+2)\): \(6x(x+2) \left(\frac{8}{x} + \frac{5}{x+2}\right) \leq 6x(x+2) \cdot \frac{17}{6}\). Получаем: \(48(x+2) + 30x \leq 17x(x+2)\).

4. Раскроем скобки: \(48x + 96 + 30x \leq 17x^{2} + 34x\). Приведём подобные: \(78x + 96 \leq 17x^{2} + 34x\).

5. Перенесём всё в одну сторону: \(17x^{2} + 34x — 78x — 96 \geq 0\), то есть \(17x^{2} — 44x — 96 \geq 0\).

6. Решим квадратное неравенство. Найдём дискриминант: \(D = (-44)^{2} — 4 \cdot 17 \cdot (-96) = 1936 + 6528 = 8464\). Корни: \(x_{1,2} = \frac{44 \pm 92}{34}\). \(x_{1} = \frac{44-92}{34} = -\frac{48}{34}\) (отрицательный не подходит), \(x_{2} = \frac{44+92}{34} = \frac{136}{34} = 4\). Значит, \(x \geq 4\).

7. Для второй лодки: она плывёт с меньшей скоростью, её время: \(\frac{8}{y} + \frac{5}{y+2}\). Она приплыла не раньше 10:40, то есть за 3 часа 40 минут (\(3 + \frac{40}{60} = 3 + \frac{2}{3} = \frac{11}{3}\) ч). Неравенство: \(\frac{8}{y} + \frac{5}{y+2} \geq \frac{11}{3}\).

8. Домножим обе части на \(3y(y+2)\): \(3y(y+2) \left(\frac{8}{y} + \frac{5}{y+2}\right) \geq 3y(y+2) \cdot \frac{11}{3}\). Получаем: \(24(y+2) + 15y \geq 11y(y+2)\).

9. Раскроем скобки: \(24y + 48 + 15y \geq 11y^{2} + 22y\). Приведём подобные: \(39y + 48 \geq 11y^{2} + 22y\).

10. Перенесём всё в одну сторону: \(11y^{2} + 22y — 39y — 48 \leq 0\), то есть \(11y^{2} — 17y — 48 \leq 0\).

11. Решим квадратное неравенство. Дискриминант: \(D = (-17)^{2} — 4 \cdot 11 \cdot (-48) = 289 + 2112 = 2401\). Корни: \(y_{1,2} = \frac{17 \pm 49}{22}\). \(y_{1} = \frac{17-49}{22} = -\frac{32}{22}\) (отрицательный не подходит), \(y_{2} = \frac{17+49}{22} = \frac{66}{22} = 3\). Значит, \(y \leq 3\).

12. По условию \(y = 0{,}75x\), значит \(0{,}75x \leq 3\), откуда \(x \leq 4\).

13. Совместим условия: \(x \geq 4\) и \(x \leq 4\), значит \(x = 4\).

14. Тогда \(y = 0{,}75 \cdot 4 = 3\).

15. Ответ: \(4\) км/ч и \(3\) км/ч