ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 513 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что при всех допустимых значениях переменных значение выражения не зависит от значения переменной (переменных):

1) \( \left( 1 + \frac{1}{a} \right) \left( 4 — \frac{4}{a} \right) \)

2) \( \frac{a}{a-b} — \frac{b}{b-c} + \frac{c}{c-a} \)

3) \( \frac{a}{a-b} — \frac{b}{b-c} + \frac{c}{c-a} + \frac{b+c-a}{b+c-a} \)

1) \(\left( \frac{1}{a} + \frac{1}{a-8} \right) \left( a-4 — \frac{16}{a-4} \right) = \frac{a-8+a}{a(a-8)} \cdot \frac{(a-4)^2-16}{a-4} = \frac{2a-8}{a(a-8)} \cdot \frac{a^2-8a+16-16}{a-4} =\)
\(= \frac{2a-8}{a(a-8)} \cdot \frac{a^2-8a}{a-4} = \frac{2(a-4)}{a(a-8)} \cdot \frac{a(a-8)}{a-4} = 2\)

2) \(\frac{a}{b-a} — \frac{ac}{b-c} \cdot \left( \frac{b+c}{bc-ac} — \frac{a+b}{ab-a^2+ac} + \frac{b}{ac} \right) = \frac{a}{b-a} — \frac{ac}{b-c} \cdot \frac{a(b+c)-c(a+b)+b(b-a)}{ac(b-a)} =\)
\(= \frac{a}{b-a} — \frac{ac}{b-c} \cdot \frac{ab+ac-ac-bc+b^2-ab}{ac(b-a)} = \frac{a}{b-a} — \frac{ac}{b-c} \cdot \frac{b^2-bc}{ac(b-a)} = \frac{a}{b-a} — \frac{b^2-bc}{(b-c)(b-a)} =\)
\(= \frac{a(b-c)-(b^2-bc)}{(b-a)(b-c)} = \frac{ab-ac-b^2+bc}{(b-a)(b-c)} = \frac{a-b}{b-a} = -1\)

1) \(\left( \frac{1}{a} + \frac{1}{a-8} \right) \left( a-4 — \frac{16}{a-4} \right)\)

Приведём к общему знаменателю первую скобку: \(\frac{1}{a} + \frac{1}{a-8} = \frac{a-8+a}{a(a-8)} = \frac{2a-8}{a(a-8)}\)

Вторую скобку преобразуем: \(a-4 — \frac{16}{a-4} = \frac{(a-4)^2-16}{a-4}\)

В числителе: \((a-4)^2-16 = a^2-8a+16-16 = a^2-8a\)

Итак, \(\frac{a^2-8a}{a-4} = a(a-8)/(a-4)\)

Теперь перемножим: \(\frac{2a-8}{a(a-8)} \cdot \frac{a(a-8)}{a-4}\)

Сократим \(a(a-8)\): получаем \(\frac{2a-8}{a-4}\)

\(2a-8 = 2(a-4)\), значит \(\frac{2(a-4)}{a-4} = 2\)

Ответ: \(2\)

2) \(\frac{a}{b-a} — \frac{ac}{b-c} \left( \frac{b+c}{bc-ac} — \frac{a+b}{ab-a^2+ac} + \frac{b}{ac} \right)\)

Вычислим выражение в скобках. Приведём к общему знаменателю:

Общий знаменатель: \(ac(b-a)\)

\(\frac{b+c}{bc-ac} = \frac{b+c}{c(b-a)}\)

\(-\frac{a+b}{ab-a^2+ac} = -\frac{a+b}{a(b-a+c)} = -\frac{a+b}{a(b-a+c)}\), но \(ab-a^2+ac = a(b-a+c)\)

\(\frac{b}{ac}\)

Приведём к общему знаменателю:

\(\frac{b+c}{c(b-a)} = \frac{a(b+c)}{ac(b-a)}\)

\(-\frac{a+b}{a(b-a+c)} = -\frac{c(a+b)}{ac(b-a)}\)

\(\frac{b}{ac} = \frac{b(b-a)}{ac(b-a)}\)

Соберём всё вместе:

\(\frac{a(b+c) — c(a+b) + b(b-a)}{ac(b-a)}\)

В числителе: \(a(b+c) — c(a+b) + b(b-a) = ab+ac-ca-cb+b^2-ab =\)
\(= ac-ca-cb+b^2\)

\(ac-ca=0\), остаётся \(-cb+b^2 = b^2-cb = b(b-c)\)

Значит, скобка равна \(\frac{b(b-c)}{ac(b-a)}\)

Теперь подставим в исходное выражение:

\(\frac{a}{b-a} — \frac{ac}{b-c} \cdot \frac{b(b-c)}{ac(b-a)}\)

\(ac\) сокращается: \(\frac{a}{b-a} — \frac{b(b-c)}{b-c}\cdot\frac{1}{b-a} = \frac{a}{b-a} — \frac{b}{b-a}\)

\(\frac{a-b}{b-a} = -1\)

Ответ: \(-1\)