ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 514 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Решите неравенство:

1) \( (3x-2)^2 — (3x — 1)(2x + 3) < 3x(x — 7) \);

2) \( -3x^2 — 10x + 48 \leq 0 \).

1) \( (3x-2)^{2}-(3x-1)(2x+3)<3x(x-7) \)
\( 9x^{2}-12x+4-6x^{2}-9x+2x+3<3x^{2}-21x \)
\( 3x^{2}-19x+7<3x^{2}-21x \)
\( 2x+7<0 \)
\( 2x<-7 \)
\( x<-\frac{7}{2} \)
\( (-\infty; -3{,}5) \)

2) \( -3x^{2}-10x+48\leq0 \)
\( 3x^{2}+10x-48\geq0 \)
\( D=10^{2}+4\cdot3\cdot48=100+576=676 \)
\( x_{1}=\frac{-10-26}{2\cdot3}=-6 \)
\( x_{2}=\frac{-10+26}{2\cdot3}=\frac{16}{6}=\frac{8}{3} \)
\( (x+6)\left(x-\frac{8}{3}\right)\geq0 \)
\( x\leq-6 \) или \( x\geq\frac{8}{3} \)
\( (-\infty; -6]\cup\left[\frac{8}{3};+\infty\right) \)

1)
Распишем левую часть:
\( (3x-2)^{2}-(3x-1)(2x+3)<3x(x-7) \)

Выполним возведение в квадрат и умножение:
\( (3x-2)^{2}=9x^{2}-12x+4 \)
\( (3x-1)(2x+3)=3x\cdot2x+3x\cdot3-1\cdot2x-1\cdot3=6x^{2}+9x-2x-3=\)
\(=6x^{2}+7x-3 \)

Подставим всё в исходное неравенство:
\( 9x^{2}-12x+4-(6x^{2}+7x-3)<3x^{2}-21x \)

Раскроем скобки:
\( 9x^{2}-12x+4-6x^{2}-7x+3<3x^{2}-21x \)

Соберём подобные:
\( (9x^{2}-6x^{2})+(-12x-7x)+(4+3)<3x^{2}-21x \)
\( 3x^{2}-19x+7<3x^{2}-21x \)

Всё перенесём в одну часть:
\( 3x^{2}-19x+7-3x^{2}+21x<0 \)
\( (3x^{2}-3x^{2})+(-19x+21x)+7<0 \)
\( 2x+7<0 \)

Решим неравенство:
\( 2x<-7 \)
\( x<-\frac{7}{2} \)
Ответ: \( (-\infty; -3{,}5) \)

2)
\( -3x^{2}-10x+48\leq0 \)

Умножим обе части на \(-1\), не забывая поменять знак неравенства:
\( 3x^{2}+10x-48\geq0 \)

Решим квадратное уравнение \( 3x^{2}+10x-48=0 \):
\( D=10^{2}-4\cdot3\cdot(-48)=100+576=676 \)
\( \sqrt{676}=26 \)

Найдём корни:
\( x_{1}=\frac{-10-26}{2\cdot3}=\frac{-36}{6}=-6 \)
\( x_{2}=\frac{-10+26}{2\cdot3}=\frac{16}{6}=\frac{8}{3} \)

Запишем в виде множителей:
\( 3(x+6)\left(x-\frac{8}{3}\right)\geq0 \)

Парабола ветвями вверх, значит неравенство выполняется при
\( x\leq-6 \) или \( x\geq\frac{8}{3} \)
Ответ: \( (-\infty; -6]\cup\left[\frac{8}{3};+\infty\right) \)