ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 546 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

К сплаву меди и цинка, содержавшему меди на 12 кг больше, чем цинка, добавили 6 кг меди. Вследствие этого процентное содержание цинка в сплаве снизилось на 5 единиц. Сколько килограммов цинка и сколько килограммов меди содержал сплав первоначально?

Пусть \(x\) — масса цинка, \(y\) — масса меди, \(y = x + 12\).

Процент цинка до добавления меди: \(\frac{x}{x + y} \cdot 100\).

После добавления 6 кг меди: \(\frac{x}{x + y + 6} \cdot 100\).

По условию: \(\frac{x}{x + y} \cdot 100 — \frac{x}{x + y + 6} \cdot 100 = 5\).

Подставим \(y = x + 12\):

\(\frac{x}{2x + 12} \cdot 100 — \frac{x}{2x + 18} \cdot 100 = 5\)

\(\frac{x}{2x + 12} — \frac{x}{2x + 18} = 0.05\)

\(\frac{x(2x + 18) — x(2x + 12)}{(2x + 12)(2x + 18)} = 0.05\)

\(\frac{6x}{(2x + 12)(2x + 18)} = 0.05\)

\(6x = 0.05 (2x + 12)(2x + 18)\)

\(6x = 0.05 (4x^{2} + 60x + 216)\)

\(6x = 0.2x^{2} + 3x + 10.8\)

\(0.2x^{2} — 3x + 10.8 = 0\)

\(x^{2} — 15x + 54 = 0\)

\(x_{1} = \frac{15 — 3}{2} = 6\), \(x_{2} = \frac{15 + 3}{2} = 9\)

\(y_{1} = 6 + 12 = 18\), \(y_{2} = 9 + 12 = 21\)

6 кг и 18 кг; 9 кг и 21 кг

1. Пусть \(x\) кг — масса цинка, \(y\) кг — масса меди в сплаве. По условию задачи, меди на 12 кг больше, чем цинка, то есть \(y = x + 12\).

2. Общая масса сплава: \(x + y\). Процент цинка в сплаве: \(\frac{x}{x + y} \cdot 100\).

3. В сплав добавили 6 кг меди, теперь меди стало \(y + 6\) кг, а общая масса стала \(x + y + 6\). Процент цинка теперь: \(\frac{x}{x + y + 6} \cdot 100\).

4. По условию, процент цинка уменьшился на 5 единиц: \(\frac{x}{x + y} \cdot 100 — \frac{x}{x + y + 6} \cdot 100 = 5\).

5. Подставим \(y = x + 12\): \(\frac{x}{x + x + 12} \cdot 100 — \frac{x}{x + x + 12 + 6} \cdot 100 = 5\).

6. Получаем: \(\frac{x}{2x + 12} \cdot 100 — \frac{x}{2x + 18} \cdot 100 = 5\).

7. Разделим обе части на 100: \(\frac{x}{2x + 12} — \frac{x}{2x + 18} = 0.05\).

8. Приведём к общему знаменателю: \(\frac{x(2x + 18) — x(2x + 12)}{(2x + 12)(2x + 18)} = 0.05\).

9. Раскроем скобки: \(x(2x + 18) — x(2x + 12) = 2x^{2} + 18x — 2x^{2} — 12x = 6x\).

10. Получаем: \(\frac{6x}{(2x + 12)(2x + 18)} = 0.05\).

11. Умножим обе части на \((2x + 12)(2x + 18)\): \(6x = 0.05(2x + 12)(2x + 18)\).

12. Раскроем скобки: \(6x = 0.05(4x^{2} + 36x + 24x + 216)\).

13. \(6x = 0.05(4x^{2} + 60x + 216)\).

14. \(6x = 0.2x^{2} + 3x + 10.8\).

15. Перенесём всё в одну сторону: \(6x — 3x — 10.8 — 0.2x^{2} = 0\).

16. \(3x — 10.8 — 0.2x^{2} = 0\).

17. \(0.2x^{2} — 3x + 10.8 = 0\).

18. Умножим обе части на 5: \(x^{2} — 15x + 54 = 0\).

19. Найдём корни уравнения: дискриминант \(D = 15^{2} — 4 \cdot 54 = 225 — 216 = 9\).

20. \(x_{1} = \frac{15 — 3}{2} = 6\), \(x_{2} = \frac{15 + 3}{2} = 9\).

21. \(y_{1} = 6 + 12 = 18\), \(y_{2} = 9 + 12 = 21\).