ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 547 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

К сплаву магния и алюминия, содержавшему 12 кг алюминия, добавили 5 кг магния, после чего процентное содержание магния в сплаве увеличилось на 20 единиц. Сколько килограммов магния было в сплаве первоначально?

Пусть \(x\) кг — масса магния в сплаве, тогда масса сплава \(x + 12\) кг.

После добавления 5 кг магния масса магния стала \(x + 5\), а масса сплава — \(x + 17\).

Составим уравнение:
\(\frac{x + 5}{x + 17} \cdot 100 = \frac{x}{x + 12} \cdot 100 + 20\)

\(\frac{x + 5}{x + 17} = \frac{x}{x + 12} + \frac{1}{5}\)

\(\frac{x + 5}{x + 17} — \frac{x}{x + 12} = \frac{1}{5}\)

\(\frac{(x + 5)(x + 12) — x(x + 17)}{(x + 17)(x + 12)} = \frac{1}{5}\)

\(\frac{x^2 + 12x + 5x + 60 — (x^2 + 17x)}{(x + 17)(x + 12)} = \frac{1}{5}\)

\(\frac{17x + 60 — 17x}{(x + 17)(x + 12)} = \frac{1}{5}\)

\(\frac{60}{(x + 17)(x + 12)} = \frac{1}{5}\)

\(300 = (x + 17)(x + 12)\)

\(300 = x^2 + 29x + 204\)

\(x^2 + 29x + 204 — 300 = 0\)

\(x^2 + 29x — 96 = 0\)

\(D = 29^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-96) = 841 + 384 = 1225\)

\(x_1 = \frac{-29 + 35}{2} = 3\)

\(x_2 = \frac{-29 — 35}{2} = -32\)

Ответ: 3 кг

1. Пусть в исходном сплаве было \(x\) кг магния. Тогда масса всего сплава равна \(x + 12\) кг, так как алюминия 12 кг.

2. После добавления 5 кг магния масса магния стала \(x + 5\) кг, а масса сплава — \(x + 17\) кг.

3. Процентное содержание магния в исходном сплаве: \(\frac{x}{x + 12} \cdot 100\).

4. Процентное содержание магния после добавления: \(\frac{x + 5}{x + 17} \cdot 100\).

5. По условию, содержание магния увеличилось на 20 процентов:
\(\frac{x + 5}{x + 17} \cdot 100 = \frac{x}{x + 12} \cdot 100 + 20\).

6. Разделим обе части на 100:
\(\frac{x + 5}{x + 17} = \frac{x}{x + 12} + \frac{1}{5}\).

7. Перенесём дроби в одну часть:
\(\frac{x + 5}{x + 17} — \frac{x}{x + 12} = \frac{1}{5}\).

8. Приведём к общему знаменателю:
\(\frac{(x + 5)(x + 12) — x(x + 17)}{(x + 17)(x + 12)} = \frac{1}{5}\).

9. Раскроем скобки в числителе:
\((x + 5)(x + 12) = x^2 + 12x + 5x + 60 = x^2 + 17x + 60\)

\(x(x + 17) = x^2 + 17x\)

10. Подставим в числитель:
\(x^2 + 17x + 60 — (x^2 + 17x) = 60\)

11. Получаем:
\(\frac{60}{(x + 17)(x + 12)} = \frac{1}{5}\)

12. Перемножим крест-накрест:
\(60 \cdot 5 = (x + 17)(x + 12)\)

\(300 = x^2 + 17x + 12x + 204\)

\(300 = x^2 + 29x + 204\)

13. Перенесём всё в одну сторону:
\(x^2 + 29x + 204 — 300 = 0\)

\(x^2 + 29x — 96 = 0\)

14. Найдём дискриминант:
\(D = 29^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-96) = 841 + 384 = 1225\)

15. Найдём корни:
\(x_1 = \frac{-29 + 35}{2} = \frac{6}{2} = 3\)

\(x_2 = \frac{-29 — 35}{2} = \frac{-64}{2} = -32\)

16. Отрицательное значение не подходит, значит \(x = 3\).

3 кг