ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 624 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Известно, что \(a + 3b = 10\). Какое наименьшее значение может принимать выражение \(a^2 + b^2\) и при каких значениях \(a\) и \(b\)?

Из условия: \(a + 3b = 10\).

Выразим \(a\): \(a = 10 — 3b\).

Подставим в выражение: \(a^2 + b^2 = (10 — 3b)^2 + b^2\).

Раскроем скобки: \(100 — 60b + 9b^2 + b^2 = 100 — 60b + 10b^2\).

Получаем: \(y = 10b^2 — 60b + 100\).

Минимум функции достигается при \(b_0 = -\frac{-60}{2 \cdot 10} = \frac{60}{20} = 3\).

\(a_0 = 10 — 3 \cdot 3 = 1\).

\(y_0 = 1^2 + 3^2 = 1 + 9 = 10\).

Ответ: \(10; \; a = 1, \; b = 3\).

1. По условию задачи дано уравнение \(a + 3b = 10\) и требуется найти наименьшее значение выражения \(a^2 + b^2\). Для этого сначала выразим одну переменную через другую, чтобы получить функцию только от одной переменной. Например, выразим \(a\) через \(b\): \(a = 10 — 3b\). Теперь подставим это выражение в исходную формулу \(a^2 + b^2\), чтобы получить зависимость только от \(b\): \(a^2 + b^2 = (10 — 3b)^2 + b^2\).

2. Далее подробно раскроем скобки и упростим полученное выражение. Возведём в квадрат разность: \((10 — 3b)^2 = 10^2 — 2 \cdot 10 \cdot 3b + (3b)^2 = 100 — 60b + 9b^2\). Теперь подставим это в выражение: \(a^2 + b^2 = 100 — 60b + 9b^2 + b^2\). Приведём подобные слагаемые: \(9b^2 + b^2 = 10b^2\), поэтому получаем \(a^2 + b^2 = 10b^2 — 60b + 100\). Это квадратичная функция относительно переменной \(b\), которая принимает наименьшее значение в вершине параболы, так как коэффициент при \(b^2\) положительный.

3. Вершина параболы находится по формуле \(b_0 = -\frac{B}{2A}\), где \(A = 10\), \(B = -60\). Подставим значения: \(b_0 = -\frac{-60}{2 \cdot 10} = \frac{60}{20} = 3\). Теперь найдём \(a\) при этом значении \(b\): \(a = 10 — 3 \cdot 3 = 10 — 9 = 1\). Подставим найденные значения \(a\) и \(b\) в исходное выражение: \(a^2 + b^2 = 1^2 + 3^2 = 1 + 9 = 10\). Это и есть наименьшее значение выражения при заданных условиях. Таким образом, минимальное значение достигается при \(a = 1\) и \(b = 3\), а само минимальное значение равно \(10\).

4. Полный ход решения показывает, что сначала мы свели задачу к функции одной переменной, затем раскрыли скобки и упростили выражение, после чего нашли точку минимума с помощью формулы для вершины параболы. Проверили найденные значения, подставив их обратно в исходное выражение, и убедились, что полученное значение действительно минимально. Все шаги выполнены строго по школьной программе, с подробным раскрытием каждого этапа вычислений и пояснением, почему выбирается именно это значение переменной \(b\).

5. Итоговое оформление: минимальное значение выражения \(a^2 + b^2\) при условии \(a + 3b = 10\) равно \(10\), оно достигается при \(a = 1\) и \(b = 3\). Ответ: \(10; \; a = 1, \; b = 3\).