ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 698 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите пять первых членов последовательности \((a_n)\), если:
1) \(a_1 = 4\), \(a_{n+1} = a_n + 3\);
2) \(a_1 = -2\), \(a_2 = 6\), \(a_{n+2} = 3a_{n+1} + a_n\).

1) Для последовательности с \(a_1 = 4\) и \(a_{n+1} = a_n + 3\):
\(a_1 = 4\), \(a_2 = 4 + 3 = 7\), \(a_3 = 7 + 3 = 10\), \(a_4 = 10 + 3 = 13\), \(a_5 = 13 + 3 = 16\).
Первые пять членов: 4, 7, 10, 13, 16. Это арифметическая прогрессия с разностью 3.

2) Для последовательности с \(a_1 = -2\), \(a_2 = 6\) и \(a_{n+2} = 3a_{n+1} + a_n\):
\(a_3 = 3a_2 + a_1 = 3 \cdot 6 + (-2) = 18 — 2 = 16\),
\(a_4 = 3a_3 + a_2 = 3 \cdot 16 + 6 = 48 + 6 = 54\),
\(a_5 = 3a_4 + a_3 = 3 \cdot 54 + 16 = 162 + 16 = 178\).
Первые пять членов: -2, 6, 16, 54, 178. Каждое следующее число вычисляется по заданной рекуррентной формуле.

1) Рассмотрим первую последовательность, заданную условиями \(a_1 = 4\) и рекуррентной формулой \(a_{n+1} = a_n + 3\). Это арифметическая прогрессия, где каждый следующий член получается прибавлением константы 3 к предыдущему члену. Давайте вычислим первые пять членов этой последовательности шаг за шагом.

Для начала, у нас есть первый член \(a_1 = 4\). Согласно формуле, чтобы найти второй член, нужно к \(a_1\) прибавить 3: \(a_2 = a_1 + 3 = 4 + 3 = 7\). Далее, третий член находится как \(a_3 = a_2 + 3 = 7 + 3 = 10\). Четвертый член: \(a_4 = a_3 + 3 = 10 + 3 = 13\). Наконец, пятый член: \(a_5 = a_4 + 3 = 13 + 3 = 16\).

Таким образом, первые пять членов последовательности: 4, 7, 10, 13, 16. Можно заметить, что разность между соседними членами всегда равна 3, что подтверждает, что это арифметическая прогрессия с первым членом 4 и разностью 3.

2) Перейдем ко второй последовательности, заданной начальными условиями \(a_1 = -2\), \(a_2 = 6\) и рекуррентной формулой \(a_{n+2} = 3a_{n+1} + a_n\). Здесь каждый следующий член зависит от двух предыдущих, и нам нужно вычислить первые пять членов, начиная с третьего, так как первые два уже даны.

Итак, у нас есть \(a_1 = -2\) и \(a_2 = 6\). Найдем третий член по формуле: \(a_3 = 3a_2 + a_1 = 3 \cdot 6 + (-2) = 18 — 2 = 16\). Далее, четвертый член: \(a_4 = 3a_3 + a_2 = 3 \cdot 16 + 6 = 48 + 6 = 54\). Наконец, пятый член: \(a_5 = 3a_4 + a_3 = 3 \cdot 54 + 16 = 162 + 16 = 178\).

Таким образом, первые пять членов последовательности: -2, 6, 16, 54, 178. Каждый член, начиная с третьего, вычисляется как утроенная сумма предыдущего члена плюс член, стоящий перед ним, что соответствует заданной рекуррентной формуле.