ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 701 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Последовательность \((b_n)\) задана формулой n-го члена \(b_n = n^2 — 4\). Является ли членом этой последовательности число:

1) 5;

2) 16;

3) 77?

В случае утвердительного ответа укажите номер этого члена.

1) Для числа 5: решаем уравнение \(b_n = n^2 — 4 = 5\), откуда \(n^2 = 9\), \(n = 3\). Число 5 является членом последовательности, номер члена \(n = 3\).

2) Для числа 16: решаем уравнение \(b_n = n^2 — 4 = 16\), откуда \(n^2 = 20\), \(n = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\). Так как \(n\) не является целым числом, 16 не является членом последовательности.

3) Для числа 77: решаем уравнение \(b_n = n^2 — 4 = 77\), откуда \(n^2 = 81\), \(n = 9\). Число 77 является членом последовательности, номер члена \(n = 9\).

1) Рассмотрим, является ли число 5 членом последовательности, заданной формулой \(b_n = n^2 — 4\). Для этого нужно решить уравнение \(b_n = 5\), то есть \(n^2 — 4 = 5\). Прибавим 4 к обеим сторонам уравнения: \(n^2 = 9\). Теперь извлечем квадратный корень из обеих сторон: \(n = \sqrt{9}\). Получаем \(n = 3\) (учитываем только положительное значение, так как номер члена последовательности должен быть натуральным числом). Проверим: если \(n = 3\), то \(b_3 = 3^2 — 4 = 9 — 4 = 5\). Значение совпадает, значит, число 5 является членом последовательности, и его номер \(n = 3\). Ответ: 3.

2) Теперь проверим, является ли число 16 членом последовательности \(b_n = n^2 — 4\). Решаем уравнение \(b_n = 16\), то есть \(n^2 — 4 = 16\). Прибавим 4 к обеим сторонам: \(n^2 = 20\). Извлечем квадратный корень: \(n = \sqrt{20}\). Упростим выражение: \(\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}\). Значение \(n = 2\sqrt{5}\) не является целым числом, а номер члена последовательности должен быть натуральным числом. Следовательно, не существует такого натурального \(n\), при котором \(b_n = 16\). Значит, число 16 не является членом данной последовательности. Ответ: нет.

3) Рассмотрим число 77 и проверим, является ли оно членом последовательности \(b_n = n^2 — 4\). Для этого решаем уравнение \(b_n = 77\), то есть \(n^2 — 4 = 77\). Прибавим 4 к обеим сторонам: \(n^2 = 81\). Извлечем квадратный корень: \(n = \sqrt{81}\). Получаем \(n = 9\) (снова учитываем только положительное значение, так как \(n\) должно быть натуральным числом). Проверим: если \(n = 9\), то \(b_9 = 9^2 — 4 = 81 — 4 = 77\). Значение совпадает, значит, число 77 является членом последовательности, и его номер \(n = 9\). Ответ: 9.