ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 708 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Сократите дробь:
1) \(\frac{3x^2 — 7x + 2}{2 — 6x}\);
2) \(\frac{5xy — 5x — 2y + 2}{10x^2 — 9x + 2}\).

1) \(\frac{3x^2 — 7x + 2}{2 — 6x} = \frac{(3x — 1)(x — 2)}{2(1 — 3x)} = \frac{(3x — 1)(x — 2)}{-2(3x — 1)} = -\frac{x — 2}{2}\). Разложили числитель и знаменатель на множители, сократили общий множитель \((3x — 1)\).

2) \(\frac{5xy — 5x — 2y + 2}{10x^2 — 9x + 2} = \frac{(5x — 2)(y — 1)}{(5x — 2)(2x — 1)} = \frac{y — 1}{2x — 1}\). Разложили числитель и знаменатель на множители, сократили общий множитель \((5x — 2)\).

1) Рассмотрим дробь \(\frac{3x^2 — 7x + 2}{2 — 6x}\). Наша цель — сократить эту дробь, разложив числитель и знаменатель на множители и сократив общие множители.

Сначала разберем числитель \(3x^2 — 7x + 2\). Это квадратный трехчлен, который можно разложить на множители. Ищем два числа, которые в сумме дают \(-7\), а в произведении \(3 \cdot 2 = 6\). Эти числа \(-1\) и \(-6\), так как \(-1 + (-6) = -7\) и \(-1 \cdot (-6) = 6\). Таким образом, числитель раскладывается как \(3x^2 — 7x + 2 = (3x — 1)(x — 2)\).

Теперь рассмотрим знаменатель \(2 — 6x\). Выносим общий множитель \(-2\) за скобки: \(2 — 6x = -2(-1 + 3x) = -2(3x — 1)\). Можно также записать это как \(2(1 — 3x)\), что эквивалентно.

Подставим разложения в дробь: \(\frac{(3x — 1)(x — 2)}{2(1 — 3x)}\). Заметим, что \(1 — 3x = -(3x — 1)\), поэтому знаменатель можно переписать как \(2(1 — 3x) = 2 \cdot (-1) \cdot (3x — 1) = -2(3x — 1)\). Таким образом, дробь принимает вид \(\frac{(3x — 1)(x — 2)}{-2(3x — 1)}\).

Сокращаем общий множитель \((3x — 1)\) в числителе и знаменателе (при условии, что \(3x — 1 \neq 0\), то есть \(x \neq \frac{1}{3}\)): \(\frac{(x — 2)}{-2} = -\frac{x — 2}{2}\).

Итог: \(\frac{3x^2 — 7x + 2}{2 — 6x} = -\frac{x — 2}{2}\).

2) Рассмотрим дробь \(\frac{5xy — 5x — 2y + 2}{10x^2 — 9x + 2}\). Наша цель — сократить эту дробь, разложив числитель и знаменатель на множители.

Начнем с числителя \(5xy — 5x — 2y + 2\). Сгруппируем слагаемые: \((5xy — 5x) + (-2y + 2)\). Выносим общие множители в каждой группе: \(5x(y — 1) — 2(y — 1)\). Теперь выносим общий множитель \((y — 1)\): \(5x(y — 1) — 2(y — 1) = (5x — 2)(y — 1)\). Таким образом, числитель равен \((5x — 2)(y — 1)\).

Перейдем к знаменателю \(10x^2 — 9x + 2\). Это квадратный трехчлен, который нужно разложить на множители. Ищем два числа, которые в сумме дают \(-9\), а в произведении \(10 \cdot 2 = 20\). Эти числа \(-5\) и \(-4\), так как \(-5 + (-4) = -9\) и \(-5 \cdot (-4) = 20\). Таким образом, \(10x^2 — 9x + 2 = 10x^2 — 5x — 4x + 2\). Сгруппируем: \((10x^2 — 5x) + (-4x + 2) = 5x(2x — 1) — 2(2x — 1) = (5x — 2)(2x — 1)\). Знаменатель равен \((5x — 2)(2x — 1)\).

Подставим разложения в дробь: \(\frac{(5x — 2)(y — 1)}{(5x — 2)(2x — 1)}\). Сокращаем общий множитель \((5x — 2)\) (при условии, что \(5x — 2 \neq 0\), то есть \(x \neq \frac{2}{5}\)): \(\frac{y — 1}{2x — 1}\).

Итог: \(\frac{5xy — 5x — 2y + 2}{10x^2 — 9x + 2} = \frac{y — 1}{2x — 1}\).