ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 729 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите первый член арифметической прогрессии \((b_n)\), если \(b_5 = 11\), \(b_9 = -7\).

Первый член арифметической прогрессии \(b_1\) можно найти, используя формулу общего члена прогрессии \(b_n = b_1 + (n-1)d\). Даны \(b_5 = 11\) и \(b_9 = -7\). Составим уравнения: для \(b_5 = b_1 + 4d = 11\) и для \(b_9 = b_1 + 8d = -7\). Вычтем первое уравнение из второго: \((b_1 + 8d) — (b_1 + 4d) = -7 — 11\), то есть \(4d = -18\), откуда \(d = -\frac{9}{2}\). Подставим \(d\) в первое уравнение: \(b_1 + 4 \cdot (-\frac{9}{2}) = 11\), то есть \(b_1 — 18 = 11\), откуда \(b_1 = 29\). Ответ: 29.

1) Для решения задачи о нахождении первого члена арифметической прогрессии \((b_n)\) используем данные условия: \(b_5 = 11\) и \(b_{11} = -7\). Формула общего члена арифметической прогрессии имеет вид \(b_n = b_1 + (n-1)d\), где \(b_1\) — первый член, а \(d\) — разность прогрессии. Наша цель — определить \(b_1\), решив систему уравнений на основе данных членов прогрессии.

2) Составим первое уравнение для пятого члена прогрессии. Согласно формуле, \(b_5 = b_1 + (5-1)d\), что равно \(b_1 + 4d\). Учитывая, что \(b_5 = 11\), получаем уравнение: \(b_1 + 4d = 11\). Выразим из этого уравнения \(b_1\): \(b_1 = 11 — 4d\). Это выражение пригодится для подстановки в следующее уравнение.

3) Теперь составим второе уравнение для одиннадцатого члена прогрессии. По формуле, \(b_{11} = b_1 + (11-1)d\), что равно \(b_1 + 10d\). Учитывая, что \(b_{11} = -7\), получаем уравнение: \(b_1 + 10d = -7\). Подставим выражение для \(b_1\) из первого уравнения, то есть \(b_1 = 11 — 4d\), во второе уравнение: \((11 — 4d) + 10d = -7\).

4) Упростим полученное уравнение: \(11 — 4d + 10d = -7\), что дает \(11 + 6d = -7\). Перенесем свободный член в правую часть: \(6d = -7 — 11\), то есть \(6d = -18\). Разделим обе части на 6 и найдем разность прогрессии: \(d = -\frac{18}{6} = -3\).

5) Теперь, когда разность \(d = -3\) найдена, подставим ее обратно в выражение для первого члена \(b_1 = 11 — 4d\). Вычислим: \(b_1 = 11 — 4 \cdot (-3) = 11 + 12 = 23\). Таким образом, первый член арифметической прогрессии равен 23.

6) Проверим правильность решения, вычислив пятый и одиннадцатый члены прогрессии с найденными значениями \(b_1 = 23\) и \(d = -3\). Для пятого члена: \(b_5 = 23 + (5-1) \cdot (-3) = 23 + 4 \cdot (-3) = 23 — 12 = 11\), что совпадает с условием. Для одиннадцатого члена: \(b_{11} = 23 + (11-1) \cdot (-3) = 23 + 10 \cdot (-3) = 23 — 30 = -7\), что также совпадает с условием.

7) Итак, первый член прогрессии определен корректно. Ответ: 23.