ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 747 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Если из арифметической прогрессии, разность которой не равна нулю, исключить её члены, номера которых кратны трём, то будет ли полученная последовательность арифметической прогрессией?

Если из арифметической прогрессии с разностью \(d \neq 0\) исключить члены, номера которых кратны трём, то полученная последовательность не будет арифметической прогрессией. Рассмотрим исходную прогрессию \(a_n = a_1 + d(n-1)\). После исключения членов с номерами, кратными трём, останутся члены с номерами \(n = 1, 2, 4, 5, 7, 8, \dots\). Разность между соседними членами новой последовательности не постоянна: например, между \(a_1\) и \(a_2\) разность равна \(d\), а между \(a_2\) и \(a_4\) разность равна \(2d\). Поскольку разность не постоянна, последовательность не является арифметической прогрессией. Ответ: нет.

Рассмотрим арифметическую прогрессию, заданную формулой \(a_n = a_1 + d(n-1)\), где \(d \neq 0\) — разность прогрессии. Нам нужно определить, останется ли последовательность арифметической прогрессией, если из неё исключить все члены, номера которых кратны трём.

В исходной последовательности члены имеют номера \(n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, \dots\). Если исключить члены с номерами, кратными трём (то есть \(n = 3, 6, 9, \dots\)), то останутся члены с номерами \(n = 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, \dots\). Таким образом, новая последовательность состоит из членов \(a_1, a_2, a_4, a_5, a_7, a_8, \dots\).

Для проверки, является ли новая последовательность арифметической прогрессией, необходимо убедиться, что разность между соседними членами постоянна. Вычислим разности между несколькими первыми членами новой последовательности. Между первым и вторым членами: \(a_2 — a_1 = (a_1 + d) — a_1 = d\). Между вторым и третьим членами (то есть \(a_2\) и \(a_4\)): \(a_4 — a_2 = (a_1 + 3d) — (a_1 + d) = 2d\). Уже на этом этапе видно, что разности различны: \(d \neq 2d\), поскольку \(d \neq 0\).

Проверим ещё одну пару для подтверждения. Между третьим и четвёртым членами (то есть \(a_4\) и \(a_5\)): \(a_5 — a_4 = (a_1 + 4d) — (a_1 + 3d) = d\). Снова разность равна \(d\), что отличается от предыдущей разности \(2d\). Таким образом, разность между соседними членами новой последовательности не является постоянной: она чередуется между \(d\) и \(2d\).

На основании этого можно сделать вывод, что полученная последовательность не является арифметической прогрессией, так как для арифметической прогрессии разность между соседними членами должна быть неизменной.

Ответ: нет.