ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 748 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Каждый член арифметической прогрессии умножили на 4. Будет ли полученная последовательность арифметической прогрессией?

Если каждый член арифметической прогрессии умножить на 4, то полученная последовательность также будет арифметической прогрессией. Пусть исходная прогрессия задаётся формулой \(a_n = a_1 + d(n-1)\), где \(d\) — разность прогрессии. После умножения на 4 новый член последовательности будет \(b_n = 4a_n = 4a_1 + 4d(n-1)\). Разность между соседними членами новой последовательности равна \(b_{n+1} — b_n = (4a_1 + 4d n) — (4a_1 + 4d(n-1)) = 4d\), что является константой. Таким образом, новая последовательность — арифметическая прогрессия с разностью \(4d\). Ответ: да.

Рассмотрим арифметическую прогрессию, заданную формулой \(a_n = a_1 + d(n-1)\), где \(a_1\) — первый член прогрессии, а \(d\) — её разность. Нам нужно определить, останется ли последовательность арифметической прогрессией, если каждый её член умножить на 4.

Новая последовательность, полученная после умножения каждого члена на 4, будет иметь вид \(b_n = 4a_n\). Подставим выражение для \(a_n\): \(b_n = 4(a_1 + d(n-1)) = 4a_1 + 4d(n-1)\). Это выражение можно переписать как \(b_n = 4a_1 + 4d \cdot n — 4d\), что показывает линейную зависимость от \(n\), характерную для арифметической прогрессии.

Теперь проверим разность между соседними членами новой последовательности. Вычислим \(b_{n+1}\) и \(b_n\): \(b_{n+1} = 4a_1 + 4d(n+1-1) = 4a_1 + 4d n\), а \(b_n = 4a_1 + 4d(n-1)\). Тогда разность \(b_{n+1} — b_n = (4a_1 + 4d n) — (4a_1 + 4d n — 4d) = 4d\). Разность между соседними членами новой последовательности равна \(4d\), что является константой.

Для дополнительной проверки возьмём произвольные члены последовательности. Пусть \(a_k\) и \(a_m\) — члены исходной прогрессии, тогда \(a_k = a_1 + d(k-1)\), а \(a_m = a_1 + d(m-1)\). После умножения на 4 получаем \(b_k = 4a_k = 4a_1 + 4d(k-1)\) и \(b_{k+1} = 4a_{k+1} = 4a_1 + 4d k\). Разность \(b_{k+1} — b_k = (4a_1 + 4d k) — (4a_1 + 4d k — 4d) = 4d\), что совпадает с предыдущим результатом.

Таким образом, разность между соседними членами новой последовательности постоянна и равна \(4d\), что подтверждает, что полученная последовательность является арифметической прогрессией.

Ответ: да.