ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 761 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что если все цифры трёхзначного числа одинаковы, то это число кратно 37.

Пусть трёхзначное число имеет одинаковые цифры, то есть оно записывается как \(x = 100a + 10a + a\), где \(a\) — цифра от 1 до 9. Упростим выражение: \(x = 111a\). Теперь заметим, что \(111 = 3 \cdot 37\), следовательно, \(x = 3 \cdot 37 \cdot a\), что показывает, что \(x\) кратно 37.

Рассмотрим трёхзначное число, у которого все цифры одинаковы. Пусть каждая цифра этого числа равна \(a\), где \(a\) — это целое число от 1 до 9 (так как цифра не может быть 0 в трёхзначном числе, чтобы не превратить его в двузначное или однозначное).

Запишем это трёхзначное число в развёрнутом виде. Поскольку число состоит из трёх одинаковых цифр \(a\), его можно представить как \(x = 100a + 10a + a\). Здесь \(100a\) соответствует разряду сотен, \(10a\) — разряду десятков, а \(a\) — разряду единиц.

Упростим это выражение, сложив все слагаемые: \(x = 100a + 10a + a = (100 + 10 + 1)a = 111a\). Таким образом, наше трёхзначное число равно произведению цифры \(a\) на число 111.

Теперь разберём число 111 на множители. Заметим, что \(111 = 3 \cdot 37\). Это легко проверить: \(3 \cdot 37 = 111\). Следовательно, мы можем переписать выражение для \(x\) как \(x = 111a = (3 \cdot 37) \cdot a\).

Из этого следует, что \(x = 3 \cdot 37 \cdot a\), то есть 37 является одним из множителей числа \(x\). Это означает, что число \(x\) делится на 37 без остатка, или, другими словами, \(x\) кратно 37.

Таким образом, мы доказали, что любое трёхзначное число, у которого все цифры одинаковы, кратно 37, что и требовалось показать.