ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 767 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Места в секторе цирка расположены так, что в первом ряду 6 мест, а в каждом следующем на 3 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в секторе, если в нём 16 рядов?

Сумма мест в секторе цирка, где в первом ряду 6 мест, а в каждом следующем на 3 места больше, для 16 рядов вычисляется по формуле суммы арифметической прогрессии: \(S_n = \frac{n}{2} \cdot (2a_1 + (n-1)d)\), где \(a_1 = 6\), \(d = 3\), \(n = 16\). Подставим значения: \(S_{16} = \frac{16}{2} \cdot (2 \cdot 6 + (16-1) \cdot 3) = 8 \cdot (12 + 45) = 8 \cdot 57 = 456\). Ответ: 456.

1. Дана арифметическая прогрессия, описывающая количество мест в рядах сектора цирка. Согласно условию, в первом ряду 6 мест, а в каждом следующем ряду на 3 места больше, чем в предыдущем. Это означает, что первый член прогрессии \(a_1 = 6\), а разность между соседними членами, или общий прирост, \(d = 3\). Нам нужно найти общее количество мест в секторе, если всего 16 рядов, то есть найти сумму первых 16 членов этой прогрессии \(S_{16}\).

2. Для решения задачи используем формулу суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии: \(S_n = \frac{n}{2} \cdot (2a_1 + (n-1)d)\), где \(n\) — количество членов прогрессии, \(a_1\) — первый член, а \(d\) — разность прогрессии. В нашем случае \(n = 16\), \(a_1 = 6\), \(d = 3\). Подставим эти значения в формулу.

3. Сначала вычислим выражение в скобках: \(2a_1 + (n-1)d\). Подставляем значения: \(2 \cdot 6 + (16-1) \cdot 3 = 12 + 15 \cdot 3 = 12 + 45 = 57\). Таким образом, внутри скобок получается 57.

4. Теперь умножим это значение на \(\frac{n}{2}\): \(\frac{16}{2} = 8\), поэтому \(S_{16} = 8 \cdot 57\). Выполним умножение: \(8 \cdot 57 = 456\). Это и есть сумма первых 16 членов прогрессии, то есть общее количество мест в секторе.

5. Можно также использовать альтернативную формулу суммы арифметической прогрессии: \(S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n)\), где \(a_n\) — последний член прогрессии. Сначала найдем \(a_{16}\), используя формулу \(a_n = a_1 + (n-1)d\): \(a_{16} = 6 + (16-1) \cdot 3 = 6 + 45 = 51\). Теперь подставим в формулу суммы: \(S_{16} = \frac{16}{2} \cdot (6 + 51) = 8 \cdot 57 = 456\). Результат совпадает с предыдущим вычислением.

6. Проверим правильность вычислений. Первый член прогрессии — 6, разность — 3, значит, второй член будет \(6 + 3 = 9\), третий — \(9 + 3 = 12\), и так далее, до шестнадцатого члена, который равен 51, как мы уже вычислили. Сумма всех членов действительно должна быть равна 456, что подтверждается обеими формулами.

7. Таким образом, общее количество мест в секторе цирка, состоящем из 16 рядов, равно 456. Это значение совпадает с примером решения, представленным в задании, где также получен результат 456.

8. Важно отметить, что арифметическая прогрессия идеально описывает данную ситуацию, поскольку количество мест увеличивается линейно с каждым рядом на фиксированную величину. Формула суммы позволяет быстро и точно вычислить итоговое количество мест без необходимости складывать все члены прогрессии вручную.

9. Если бы рядов было меньше или больше, мы могли бы использовать ту же формулу, просто заменив значение \(n\). Это демонстрирует универсальность подхода к решению подобных задач.

10. Итак, окончательный ответ: общее количество мест в секторе цирка с 16 рядами составляет 456.