ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 768 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Дмитрий взял в библиотеке книгу. За первый день он прочитал 40 страниц, а за каждый следующий день читал на 10 страниц больше, чем за предыдущий. Сколько страниц в книге, если Дмитрий прочитал её за 7 дней?

Сумма страниц, прочитанных за 7 дней, является арифметической прогрессией с первым членом \(a_1 = 40\) и разностью \(d = 10\). Формула суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии: \(S_n = \frac{n}{2} \cdot (2a_1 + (n-1)d)\). Для \(n = 7\): \(S_7 = \frac{7}{2} \cdot (2 \cdot 40 + 6 \cdot 10) = \frac{7}{2} \cdot (80 + 60) = \frac{7}{2} \cdot 140 = 7 \cdot 70 = 490\). Таким образом, в книге 490 страниц.

1. Рассмотрим задачу о количестве страниц в книге, которую Дмитрий прочитал за 7 дней. Из условия известно, что в первый день он прочитал 40 страниц, а в каждый последующий день на 10 страниц больше, чем в предыдущий. Это означает, что количество страниц, прочитанных каждый день, образует арифметическую прогрессию.

2. В арифметической прогрессии первый член \(a_1 = 40\), а разность между соседними членами \(d = 10\). Нам нужно найти сумму первых 7 членов этой прогрессии, так как это и будет общее количество страниц в книге, прочитанных за 7 дней.

3. Формула для суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии имеет вид: \(S_n = \frac{n}{2} \cdot (2a_1 + (n-1)d)\). Здесь \(n\) — количество членов прогрессии, \(a_1\) — первый член, а \(d\) — разность.

4. Подставим значения из условия задачи в формулу. У нас \(n = 7\), \(a_1 = 40\), \(d = 10\). Тогда сумма \(S_7 = \frac{7}{2} \cdot (2 \cdot 40 + (7-1) \cdot 10)\).

5. Вычислим выражение внутри скобок: \(2 \cdot 40 = 80\), а \((7-1) \cdot 10 = 6 \cdot 10 = 60\). Таким образом, \(2a_1 + (n-1)d = 80 + 60 = 140\).

6. Теперь умножим результат на \(\frac{7}{2}\): \(\frac{7}{2} \cdot 140 = 7 \cdot 70 = 490\). Итак, сумма первых 7 членов прогрессии равна 490.

7. Можно также использовать альтернативную формулу суммы арифметической прогрессии: \(S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n)\), где \(a_n\) — последний член прогрессии. Найдем \(a_7\), который соответствует количеству страниц, прочитанных в седьмой день.

8. Формула для \(n\)-го члена арифметической прогрессии: \(a_n = a_1 + (n-1)d\). Для \(n = 7\): \(a_7 = 40 + (7-1) \cdot 10 = 40 + 6 \cdot 10 = 40 + 60 = 100\). Значит, в седьмой день Дмитрий прочитал 100 страниц.

9. Теперь вычислим сумму по второй формуле: \(S_7 = \frac{7}{2} \cdot (40 + 100) = \frac{7}{2} \cdot 140 = 7 \cdot 70 = 490\). Результат совпадает с предыдущим вычислением.

10. Таким образом, общее количество страниц, прочитанных за 7 дней, равно 490. Следовательно, в книге 490 страниц. Ответ: 490.