ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 780 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Чему равна сумма \(n\) первых:
1) натуральных чисел;
2) нечётных чисел?

1) Сумма \(n\) первых натуральных чисел равна \(\frac{n(n+1)}{2}\). Это формула для суммы арифметической прогрессии с первым членом 1 и разностью 1.

2) Сумма \(n\) первых нечётных чисел равна \(n^2\). Это следует из того, что каждое нечётное число можно представить как \(2k-1\), и сумма таких чисел образует квадрат числа \(n\).

1) Для нахождения суммы \(n\) первых натуральных чисел мы используем формулу суммы арифметической прогрессии. Натуральные числа образуют последовательность \(1, 2, 3, \dots, n\), где первый член \(a_1 = 1\), а общий член последовательности равен \(a_n = n\), разность \(d = 1\). Формула суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии имеет вид \(S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n)\).

Подставим значения: \(a_1 = 1\), \(a_n = n\). Тогда \(S_n = \frac{n}{2} \cdot (1 + n) = \frac{n(n+1)}{2}\). Таким образом, сумма \(n\) первых натуральных чисел равна \(\frac{n(n+1)}{2}\).

Проверим на примере для \(n = 3\): сумма чисел \(1 + 2 + 3 = 6\), а по формуле \(S_3 = \frac{3 \cdot 4}{2} = 6\). Результат совпадает.

2) Для нахождения суммы \(n\) первых нечётных чисел рассмотрим последовательность \(1, 3, 5, \dots, (2n-1)\). Здесь первый член \(a_1 = 1\), разность \(d = 2\), а общий член последовательности равен \(a_n = 2n — 1\). Формула суммы арифметической прогрессии \(S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n)\).

Подставим значения: \(a_1 = 1\), \(a_n = 2n — 1\). Тогда \(S_n = \frac{n}{2} \cdot (1 + (2n — 1)) = \frac{n}{2} \cdot 2n = n^2\). Таким образом, сумма \(n\) первых нечётных чисел равна \(n^2\).

Проверим на примере для \(n = 3\): сумма чисел \(1 + 3 + 5 = 9\), а по формуле \(S_3 = 3^2 = 9\). Результат совпадает.