ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 783 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите сумму всех отрицательных членов арифметической прогрессии \(-6,2; -5,9; -5,6; \dots\).

Сумма всех отрицательных членов арифметической прогрессии равна \(-67,2\).

Объяснение: дана арифметическая прогрессия с первым членом \(a_1 = -6,2\) и разностью \(d = 0,3\). Отрицательные члены соответствуют \(n\) от 1 до 21, так как при \(n = 22\) член становится неотрицательным (\(a_{22} = -6,2 + 0,3 \cdot 21 = 0,1\)). Сумма первых 21 членов вычисляется по формуле суммы арифметической прогрессии: \(S_{21} = \frac{21}{2} \cdot (2 \cdot (-6,2) + 20 \cdot 0,3) = \frac{21}{2} \cdot (-12,4 + 6) = \frac{21}{2} \cdot (-6,4)=\)
\( = 21 \cdot (-3,2) = -67,2\).

1) Для начала определим разность арифметической прогрессии. Дан первый член \(a_1 = -6,2\), второй член \(a_2 = -5,9\). Разность \(d\) вычисляется как разница между вторым и первым членами: \(d = a_2 — a_1 = -5,9 — (-6,2) = -5,9 + 6,2 = 0,3\). Таким образом, разность прогрессии составляет \(0,3\).

2) Теперь найдем все отрицательные члены прогрессии. Общий член арифметической прогрессии выражается формулой \(a_n = a_1 + d \cdot (n — 1)\). Подставим значения: \(a_n = -6,2 + 0,3 \cdot (n — 1)\). Нам нужно найти такие \(n\), при которых \(a_n < 0\). Решаем неравенство: \(-6,2 + 0,3 \cdot (n - 1) < 0\). Раскроем скобки: \(-6,2 + 0,3n - 0,3 < 0\). Сложим подобные члены: \(-6,5 + 0,3n < 0\). Перенесем константу: \(0,3n < 6,5\). Разделим обе части на \(0,3\): \(n < \frac{6,5}{0,3}\). Вычислим: \(\frac{6,5}{0,3} = 21,\overline{6}\). Поскольку \(n\) должно быть целым числом, наибольшее значение \(n\), при котором член отрицательный, равно \(21\). Проверим: для \(n = 21\), \(a_{21} = -6,2 + 0,3 \cdot 20 = -6,2 + 6,0 = -0,2 < 0\), а для \(n = 22\), \(a_{22} = -6,2 + 0,3 \cdot 21 = -6,2 + 6,3 = 0,1 > 0\). Таким образом, отрицательных членов всего \(21\).

3) Вычислим сумму всех отрицательных членов, то есть сумму первых \(21\) членов прогрессии. Формула суммы арифметической прогрессии: \(S_n = \frac{n}{2} \cdot (2a_1 + (n — 1)d)\). Подставим значения: \(n = 21\), \(a_1 = -6,2\), \(d = 0,3\). Сначала вычислим выражение в скобках: \(2a_1 = 2 \cdot (-6,2) = -12,4\), \((n — 1)d = 20 \cdot 0,3 = 6,0\), тогда \(2a_1 + (n — 1)d = -12,4 + 6,0 = -6,4\). Теперь умножим на \(\frac{n}{2}\): \(\frac{21}{2} = 10,5\), следовательно, \(S_{21} = 10,5 \cdot (-6,4)\). Вычислим: \(10,5 \cdot 6,4 = 67,2\), а с учетом знака: \(S_{21} = -67,2\). Альтернативно, можно использовать формулу \(S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n)\). Найдем \(a_{21} = -0,2\), тогда \(S_{21} = \frac{21}{2} \cdot (-6,2 + (-0,2)) = \frac{21}{2} \cdot (-6,4) = 21 \cdot (-3,2) = -67,2\). Результат совпадает.

Ответ: \(-67,2\).