ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 794 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Может ли сумма каких-либо пяти последовательных членов арифметической прогрессии 3, 7, 11, … быть равной 135? В случае утвердительного ответа найдите эти члены.

Сумма пяти последовательных членов арифметической прогрессии с первым членом \(a_1 = 3\) и разностью \(d = 4\) может быть равна 135. Для проверки вычислим сумму пяти членов, начиная с некоторого члена \(a_k\): сумма равна \(5a_k + 10d\). Подставим \(d = 4\), получим \(5a_k + 40 = 135\), откуда \(5a_k = 95\), \(a_k = 19\). Член \(a_k = 19\) входит в прогрессию, так как \(19 = 3 + 4(n-1)\), откуда \(n = 5\). Таким образом, искомые члены: \(19, 23, 27, 31, 35\).

1) Дана арифметическая прогрессия с первым членом \(a_1 = 3\), вторым членом \(a_2 = 7\) и третьим членом \(a_3 = 11\). Найдем разность прогрессии \(d\). Для этого вычтем из третьего члена второй: \(d = a_3 — a_2 = 11 — 7 = 4\). Таким образом, разность прогрессии равна \(d = 4\).

2) Нам нужно определить, может ли сумма каких-либо пяти последовательных членов этой прогрессии быть равной 135. Сумма пяти последовательных членов, начиная с некоторого члена \(a_k\), выражается формулой суммы арифметической прогрессии: \(S_5 = 5 \cdot a_k + \frac{5 \cdot (5-1)}{2} \cdot d\). Подставим \(d = 4\): \(S_5 = 5a_k + \frac{5 \cdot 4}{2} \cdot 4 = 5a_k + 10 \cdot 4 = 5a_k + 40\). По условию сумма равна 135, поэтому составим уравнение: \(5a_k + 40 = 135\). Решим его: \(5a_k = 135 — 40 = 95\), откуда \(a_k = \frac{95}{5} = 19\). Таким образом, первый из пяти членов должен быть равен \(a_k = 19\).

3) Проверим, входит ли член \(a_k = 19\) в данную прогрессию. Формула \(n\)-го члена арифметической прогрессии: \(a_n = a_1 + (n-1)d\). Подставим \(a_n = 19\), \(a_1 = 3\), \(d = 4\): \(19 = 3 + (n-1) \cdot 4\). Решим уравнение: \(19 — 3 = (n-1) \cdot 4\), \(16 = (n-1) \cdot 4\), \(n-1 = \frac{16}{4} = 4\), \(n = 5\). Таким образом, \(a_5 = 19\), и этот член действительно входит в прогрессию.

4) Найдем все пять последовательных членов прогрессии, начиная с \(a_5 = 19\). Используем разность \(d = 4\): \(a_6 = a_5 + d = 19 + 4 = 23\), \(a_7 = a_6 + d = 23 + 4 = 27\), \(a_8 = a_7 + d = 27 + 4 = 31\), \(a_9 = a_8 + d = 31 + 4 = 35\). Таким образом, искомые члены прогрессии: \(19, 23, 27, 31, 35\).

5) Проверим сумму этих членов: \(19 + 23 + 27 + 31 + 35 = 135\). Сумма действительно равна 135, что подтверждает правильность решения. Ответ: \(19, 23, 27, 31, 35\).