ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 799 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите сумму членов арифметической прогрессии \((x_n)\) с десятого по двадцать пятый включительно, если \(x_1 = -3\) и \(x_{11} = 12\).

Сумма членов арифметической прогрессии с десятого по двадцать пятый включительно равна 348.

Краткое решение: дана арифметическая прогрессия с \(x_1 = -3\) и \(x_{11} = 12\). Находим разность \(d\): \(x_{11} = x_1 + 10d\), то есть \(-3 + 10d = 12\), откуда \(10d = 15\), \(d = 1.5\). Формула общего члена: \(x_n = x_1 + d(n-1) = -3 + 1.5(n-1) = 1.5n — 4.5\). Находим \(x_{10} = 1.5 \cdot 10 — 4.5 = 10.5\), \(x_{25} = 1.5 \cdot 25 — 4.5 = 33\). Сумма членов от \(x_{10}\) до \(x_{25}\): количество членов \(25 — 10 + 1 = 16\), сумма \(S = \frac{x_{10} + x_{25}}{2} \cdot 16 = \frac{10.5 + 33}{2} \cdot 16 = 43.5 \cdot 8 = 348\).

Ответ: 348.

1) Дана арифметическая прогрессия, где первый член \(x_1 = -3\), а одиннадцатый член \(x_{11} = 12\). Нам нужно найти разность прогрессии \(d\). Для этого используем формулу общего члена арифметической прогрессии: \(x_n = x_1 + (n-1)d\). Подставим значения для \(n = 11\): \(x_{11} = x_1 + 10d\), то есть \(12 = -3 + 10d\). Решаем уравнение: \(10d = 12 + 3\), \(10d = 15\), откуда \(d = \frac{15}{10} = 1.5\).

2) Теперь определим формулу общего члена прогрессии. Используем стандартную формулу: \(x_n = x_1 + d(n-1)\). Подставим значения \(x_1 = -3\) и \(d = 1.5\): \(x_n = -3 + 1.5(n-1)\). Упростим выражение: \(x_n = -3 + 1.5n — 1.5\), что дает \(x_n = 1.5n — 4.5\). Таким образом, общий член прогрессии выражается как \(x_n = 1.5n — 4.5\).

3) Найдем значения членов прогрессии \(x_{10}\) и \(x_{25}\), которые являются границами искомого диапазона. Для \(n = 10\): \(x_{10} = 1.5 \cdot 10 — 4.5 = 15 — 4.5 = 10.5\). Для \(n = 25\): \(x_{25} = 1.5 \cdot 25 — 4.5 = 37.5 — 4.5 = 33\). Итак, \(x_{10} = 10.5\), а \(x_{25} = 33\).

4) Вычислим сумму членов прогрессии с десятого по двадцать пятый включительно. Сначала определим количество членов в этом диапазоне: \(25 — 10 + 1 = 16\). Сумма членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле: \(S = \frac{x_k + x_m}{2} \cdot (m — k + 1)\), где \(k = 10\), \(m = 25\). Подставим значения: \(S = \frac{10.5 + 33}{2} \cdot 16\). Сначала вычислим среднее арифметическое: \(\frac{10.5 + 33}{2} = \frac{43.5}{2} = 21.75\). Затем умножим на количество членов: \(21.75 \cdot 16\). Для удобства вычислений можно представить это как \(21.75 \cdot 16 = 43.5 \cdot 8 = 348\). Таким образом, сумма равна 348.

Ответ: 348.