Учебник «Алгебра, 9 класс» под авторством Мерзляка, Полонского и Якира — это незаменимое пособие для учащихся средней школы, стремящихся углубить свои знания в области алгебры. Он отличается высоким качеством содержания и тщательно продуманной методической структурой, что делает процесс изучения математики более доступным и увлекательным.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 801 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Первый член арифметической прогрессии равен 100, а сумма шести первых членов в 5 раз больше суммы следующих шести членов. Чему равна разность прогрессии?
Разность прогрессии равна \(-10\).
Объяснение: первый член прогрессии \(a_1 = 100\), а сумма первых шести членов \(S_6\) в 5 раз больше суммы следующих шести членов, то есть \(S_6 = 5(S_{12} — S_6)\). Используя формулу суммы арифметической прогрессии \(S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)\), составляем уравнение: \(6a_1 + 15d = 5 \cdot \frac{12}{2}(2a_1 + 11d) — 5 \cdot \frac{6}{2}(2a_1 + 5d)\). Упрощая, получаем \(24a_1 = -240d\), откуда \(d = -10\).
Дана арифметическая прогрессия, где первый член \(a_1 = 100\), а сумма первых шести членов \(S_6\) связана с суммой следующих шести членов через уравнение \(S_6 = 5(S_{12} — S_6)\). Необходимо найти разность прогрессии \(d\).
Для решения задачи используем формулу суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии: \(S_n = \frac{n}{2} \cdot (2a_1 + (n-1)d)\). Вычислим сумму первых шести членов \(S_6\): \(S_6 = \frac{6}{2} \cdot (2a_1 + 5d) = 3 \cdot (2a_1 + 5d) = 6a_1 + 15d\).
Далее вычислим сумму первых двенадцати членов \(S_{12}\): \(S_{12} = \frac{12}{2} \cdot (2a_1 + 11d) = 6 \cdot (2a_1 + 11d) = 12a_1 + 66d\).
Теперь выразим сумму следующих шести членов как разность \(S_{12} — S_6\): \(S_{12} — S_6 = (12a_1 + 66d) — (6a_1 + 15d) = 6a_1 + 51d\).
Согласно условию задачи, \(S_6 = 5(S_{12} — S_6)\). Подставим выражения: \(6a_1 + 15d = 5 \cdot (6a_1 + 51d)\).
Раскроем скобки: \(6a_1 + 15d = 30a_1 + 255d\).
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы привести уравнение к виду с нулем: \(6a_1 + 15d — 30a_1 — 255d = 0\), что упрощается до \(-24a_1 — 240d = 0\).
Умножим уравнение на \(-1\), чтобы избавиться от отрицательных коэффициентов: \(24a_1 + 240d = 0\).
Разделим обе части на 24: \(a_1 + 10d = 0\).
Так как \(a_1 = 100\), подставим это значение: \(100 + 10d = 0\).
Выразим \(d\): \(10d = -100\), откуда \(d = -10\).
Проверим решение. Вычислим \(S_6\): \(S_6 = 6 \cdot 100 + 15 \cdot (-10) = 600 — 150 = 450\). Теперь \(S_{12} = 12 \cdot 100 + 66 \cdot (-10) = 1200 — 660 = 540\). Сумма следующих шести членов: \(S_{12} — S_6 = 540 — 450 = 90\). Проверяем условие: \(5 \cdot 90 = 450\), что совпадает с \(S_6 = 450\). Значит, решение верно.
Ответ: разность прогрессии равна \(-10\).
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.