ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 808 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

(Задача Гипсикла Александрийского.) Докажите, что в арифметической прогрессии с чётным количеством членов, состоящей из целых чисел, сумма второй половины больше суммы первой половины на число, кратное квадрату половины количества членов.

Пусть арифметическая прогрессия состоит из \(2n\) членов, где \(n\) — целое число, с первым членом \(a_1\) и разностью \(d\). Сумма первой половины (первых \(n\) членов) равна \(S_1 = n \cdot (a_1 + \frac{d(n-1)}{2})\), а сумма второй половины (последних \(n\) членов) равна \(S_2 = n \cdot (a_1 + d(n-1) + \frac{d(n-1)}{2})\). Разность между суммами: \(S_2 — S_1 = n \cdot d \cdot (n-1) + n \cdot \frac{d(n-1)}{2} — n \cdot \frac{d(n-1)}{2} = n \cdot d \cdot (n-1)\). Таким образом, \(S_2 — S_1 = d \cdot n \cdot (n-1)\), что кратно \(n^2\), так как \(n \cdot (n-1)\) делится на \(n\). Это подтверждает утверждение задачи.

1. Рассмотрим арифметическую прогрессию с четным количеством членов, состоящую из целых чисел. Пусть общее количество членов равно \(2n\), где \(n\) — целое положительное число. Первый член прогрессии обозначим как \(a_1\), а разность между соседними членами (общий шаг прогрессии) как \(d\). Наша цель — доказать, что сумма второй половины членов прогрессии больше суммы первой половины на число, кратное квадрату половины количества членов, то есть кратное \(n^2\).

2. Для начала определим суммы первой и второй половин прогрессии. Первая половина состоит из первых \(n\) членов, а вторая половина — из последних \(n\) членов. Формула суммы арифметической прогрессии для первых \(k\) членов имеет вид \(S_k = \frac{k}{2} \cdot (2a_1 + d(k-1))\). Применяя эту формулу к первой половине (\(k = n\)), получаем сумму \(S_1 = \frac{n}{2} \cdot (2a_1 + d(n-1))\).

3. Теперь вычислим сумму второй половины. Первый член второй половины — это \((n+1)\)-й член прогрессии, который равен \(a_1 + d \cdot n\). Сумма последних \(n\) членов может быть найдена как сумма всей прогрессии за вычетом суммы первых \(n\) членов. Сумма всей прогрессии (\(2n\) членов) равна \(S_{2n} = \frac{2n}{2} \cdot (2a_1 + d(2n-1)) = n \cdot (2a_1 + d(2n-1))\). Тогда сумма второй половины \(S_2 = S_{2n} — S_1 = n \cdot (2a_1 + d(2n-1)) — \frac{n}{2} \cdot (2a_1 + d(n-1))\).

4. Упростим выражение для \(S_2\). Раскроем скобки: \(S_2 = n \cdot 2a_1 + n \cdot d(2n-1) — \frac{n}{2} \cdot 2a_1 — \frac{n}{2} \cdot d(n-1) =\)
\(= 2na_1 + 2n^2 d — nd — na_1 — \frac{n^2 d}{2} + \frac{nd}{2}\). Сложим подобные слагаемые: \(2na_1 — na_1 = na_1\), а для членов с \(d\): \(2n^2 d — \frac{n^2 d}{2} — nd + \frac{nd}{2} = \frac{4n^2 d — n^2 d — 2nd + nd}{2} = \frac{3n^2 d — nd}{2}\). Таким образом, \(S_2 = na_1 + \frac{3n^2 d — nd}{2}\).

5. Найдем разность между суммой второй половины и суммой первой половины: \(S_2 — S_1\). Подставим выражения: \(S_2 — S_1 = \left(na_1 + \frac{3n^2 d — nd}{2}\right) — \frac{n}{2} \cdot (2a_1 + d(n-1))\). Раскроем скобки для \(S_1\): \(\frac{n}{2} \cdot (2a_1 + dn — d) = na_1 + \frac{n^2 d}{2} — \frac{nd}{2}\). Тогда \(S_2 — S_1 = na_1 + \frac{3n^2 d}{2} — \frac{nd}{2} — na_1 — \frac{n^2 d}{2} + \frac{nd}{2}\).

6. Упростим выражение: \(na_1 — na_1 = 0\), а для членов с \(d\): \(\frac{3n^2 d}{2} — \frac{n^2 d}{2} — \frac{nd}{2} + \frac{nd}{2} = \frac{2n^2 d}{2} = n^2 d\). Таким образом, \(S_2 — S_1 = n^2 d\).

7. Проанализируем результат \(S_2 — S_1 = n^2 d\). Поскольку \(n\) — целое число, а \(d\) — разность арифметической прогрессии, которая также является целым числом (так как прогрессия состоит из целых чисел), то \(n^2 d\) — это число, кратное \(n^2\), так как \(n^2\) умножается на целое число \(d\).

8. Таким образом, разность между суммой второй половины и суммой первой половины равна \(n^2 d\), что действительно кратно квадрату половины количества членов, то есть \(n^2\). Это подтверждает утверждение задачи.

9. Для наглядности можно рассмотреть пример. Пусть \(n = 2\), то есть прогрессия состоит из \(2n = 4\) членов, например, \(1, 3, 5, 7\) (здесь \(a_1 = 1\), \(d = 2\)). Сумма первой половины: \(1 + 3 = 4\), сумма второй половины: \(5 + 7 = 12\). Разность: \(12 — 4 = 8\). При этом \(n^2 = 4\), а \(n^2 d = 4 \cdot 2 = 8\), что совпадает с разностью и кратно \(4\).

10. Итак, мы доказали, что в арифметической прогрессии с четным количеством членов сумма второй половины больше суммы первой половины на число \(n^2 d\), которое кратно \(n^2\), что и требовалось доказать.