ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 826 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

В геометрической прогрессии (\(y_n\)) первый член \(y_1 = 64\), а знаменатель \(q = -\frac{1}{2}\). Найдите:

1) \(y_5\);

2) \(y_{10}\);

3) \(y_{10}/y_7\).

\(y_5 = y_1 \cdot q^{4} = 64 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^{4} = 64 \cdot \frac{1}{16} = 4\)

\(y_{10} = y_1 \cdot q^{9} = 64 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^{9} = 64 \cdot \left(-\frac{1}{512}\right) = -\frac{64}{512} = -\frac{1}{8}\)

\(\frac{y_{10}}{y_7} = \frac{y_1 \cdot q^{9}}{y_1 \cdot q^{6}} = q^{3} = \left(-\frac{1}{2}\right)^{3} = -\frac{1}{8}\)

1) Для того чтобы найти пятый член геометрической прогрессии, используем формулу общего члена: \(y_n = y_1 \cdot q^{n-1}\), где \(y_1\) — первый член прогрессии, \(q\) — знаменатель прогрессии, \(n\) — номер члена. В нашем случае \(y_1 = 64\), \(q = -\frac{1}{2}\), \(n = 5\). Подставляем значения: \(y_5 = 64 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^{5-1}\). Сначала вычисляем показатель степени: \(5-1=4\), значит, нужно возвести знаменатель в четвёртую степень. Возведение отрицательной дроби в чётную степень даст положительный результат: \(\left(-\frac{1}{2}\right)^{4} = \left(-1\right)^{4} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{4} = 1 \cdot \frac{1}{16} = \frac{1}{16}\). Теперь перемножим: \(64 \cdot \frac{1}{16} = \frac{64}{16} = 4\).

2) Чтобы найти десятый член прогрессии, снова используем формулу: \(y_{10} = y_1 \cdot q^{10-1}\). Подставляем значения: \(y_{10} = 64 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^{9}\). Теперь нужно возвести \(-\frac{1}{2}\) в нечетную степень, а именно в девятую. Отрицательное число в нечетной степени остаётся отрицательным: \(\left(-\frac{1}{2}\right)^{9} = -\left(\frac{1}{2}\right)^{9} = -\frac{1}{512}\). Перемножаем: \(64 \cdot \left(-\frac{1}{512}\right) = -\frac{64}{512}\). Сократим дробь: \(64\) и \(512\) делятся на \(64\), получаем \(-\frac{1}{8}\).

3) Чтобы найти отношение десятого члена к седьмому, используем формулы: \(\frac{y_{10}}{y_7} = \frac{y_1 \cdot q^{9}}{y_1 \cdot q^{6}}\). Первые члены сокращаются: \(\frac{y_1}{y_1} = 1\). Далее используем свойство степеней: \(\frac{q^9}{q^6} = q^{9-6} = q^3\). Подставим значение \(q\): \(q^3 = \left(-\frac{1}{2}\right)^3\). Возведение отрицательной дроби в нечетную степень даёт отрицательный результат: \(\left(-\frac{1}{2}\right)^3 = -\frac{1}{8}\). Таким образом, \(\frac{y_{10}}{y_7} = -\frac{1}{8}\).

В первом пункте подробно расписан каждый шаг: подстановка в формулу, вычисление степени, перемножение и упрощение. Во втором пункте показано, как обрабатывается отрицательная дробь в нечетной степени, и как сокращается итоговая дробь до простейшего вида. В третьем пункте объяснено, как выполняется деление членов прогрессии через свойства степеней, и почему результат снова равен \(-\frac{1}{8}\).