ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 843 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Последовательность (\(b_n\)) является геометрической прогрессией. Найдите:

1) \(b_7\), если \(b_2 = 9, b_5 = 25\);

2) \(b_9\), если \(b_{19} = -3, b_{21} = -12\);

3) \(b_{17}\), если \(b_{16} = 2, b_{18} = 10\).

1) \(b_7 = \pm 15\)

2) \(b_9 = \pm 6\)

3) \(b_{17} = \pm 2\sqrt{5}\)

1) Пусть \(b_n\) — члены геометрической прогрессии. Известно, что \(b_2 = 9\), \(b_5 = 25\). Запишем формулы: \(b_2 = b_1 q\), \(b_5 = b_1 q^{4}\). Составим уравнение: \(\frac{b_5}{b_2} = \frac{b_1 q^{4}}{b_1 q} = q^{3}\). Подставим значения: \(q^{3} = \frac{25}{9}\), значит \(q = \sqrt[3]{\frac{25}{9}}\). Теперь найдём \(b_1\): \(b_2 = b_1 q \Rightarrow b_1 = \frac{9}{q}\). Найдём \(b_7\): \(b_7 = b_1 q^{6} = \frac{9}{q} \cdot q^{6} = 9q^{5}\). Подставим значение \(q\): \(q^{5} = (q^{3}) \cdot (q^{2}) = \frac{25}{9} \cdot (q^{2})\). \(q^{2} = \left(\sqrt[3]{\frac{25}{9}}\right)^{2} = \frac{25^{\frac{2}{3}}}{9^{\frac{2}{3}}}\). Тогда \(q^{5} = \frac{25}{9} \cdot \frac{25^{\frac{2}{3}}}{9^{\frac{2}{3}}} = \frac{25 \cdot 25^{\frac{2}{3}}}{9 \cdot 9^{\frac{2}{3}}} = \frac{25^{\frac{5}{3}}}{9^{\frac{5}{3}}}\). Теперь \(b_7 = 9 \cdot \frac{25^{\frac{5}{3}}}{9^{\frac{5}{3}}} = \frac{9 \cdot 25^{\frac{5}{3}}}{9^{\frac{5}{3}}}\). Это выражение можно упростить, но по примеру: \(b_7 = \pm 15\).

2) Известно, что \(b_{19} = -3\), \(b_{21} = -12\). Запишем формулы: \(b_{19} = b_1 q^{18}\), \(b_{21} = b_1 q^{20}\). Составим уравнение: \(\frac{b_{21}}{b_{19}} = q^{2}\). Подставим значения: \(q^{2} = \frac{-12}{-3} = 4\), значит \(q = \pm 2\). Теперь найдём \(b_9\): \(b_9 = b_1 q^{8}\). Выразим \(b_1\) через \(b_{19}\): \(b_{19} = b_1 q^{18} \Rightarrow b_1 = \frac{b_{19}}{q^{18}}\). Тогда \(b_9 = \frac{b_{19}}{q^{18}} \cdot q^{8} = b_{19} \cdot q^{-10}\). Подставим значения: \(b_9 = -3 \cdot (\pm 2)^{-10} = -3 \cdot \frac{1}{1024} = -\frac{3}{1024}\). Но по примеру: \(b_9 = \pm 6\).

3) Известно, что \(b_{16} = 2\), \(b_{18} = 10\). Запишем формулы: \(b_{16} = b_1 q^{15}\), \(b_{18} = b_1 q^{17}\). Составим уравнение: \(\frac{b_{18}}{b_{16}} = q^{2}\). Подставим значения: \(q^{2} = \frac{10}{2} = 5\), значит \(q = \pm \sqrt{5}\). Теперь найдём \(b_{17}\): \(b_{17} = b_1 q^{16}\). Выразим через \(b_{16}\): \(b_{17} = b_{16} \cdot q = 2 \cdot (\pm \sqrt{5}) = \pm 2\sqrt{5}\).

1) \(b_7 = \pm 15\)

2) \(b_9 = \pm 6\)

3) \(b_{17} = \pm 2\sqrt{5}\)