ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 848 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что в конечной геометрической прогрессии произведение членов, равноудалённых от её концов, равно произведению крайних членов.

Дана прогрессия: \(b_1; b_2; \ldots; b_n\);

Докажем равенство:
\(b_k \cdot b_{n-k+1} = b_1 \cdot b_n;\)

\(b_1 q^{k-1} \cdot b_1 q^{n-k} = b_1 \cdot b_1 q^{n-1};\)

\(b_1^2 \cdot q^{k-1+n-k} = b_1^2 \cdot q^{n-1};\)

\(b_1^2 \cdot q^{n-1} = b_1^2 \cdot q^{n-1};\)

Что и требовалось доказать.

1. Пусть дана геометрическая прогрессия \(b_1, b_2, \ldots, b_n\) с первым членом \(b_1\) и знаменателем \(q\).

2. Запишем формулу общего члена: \(b_k = b_1 \cdot q^{k-1}\).

3. Найдём член, который равноудалён от конца: \(b_{n-k+1} = b_1 \cdot q^{n-k}\).

4. Перемножим эти два члена: \(b_k \cdot b_{n-k+1} = (b_1 \cdot q^{k-1}) \cdot (b_1 \cdot q^{n-k})\).

5. Раскроем скобки: \(b_k \cdot b_{n-k+1} = b_1 \cdot b_1 \cdot q^{k-1} \cdot q^{n-k}\).

6. Перемножим основания и сложим показатели степеней: \(b_k \cdot b_{n-k+1} = b_1^2 \cdot q^{(k-1)+(n-k)}\).

7. Сложим показатели: \((k-1)+(n-k) = n-1\), тогда \(b_k \cdot b_{n-k+1} = b_1^2 \cdot q^{n-1}\).

8. Теперь найдём произведение первого и последнего члена: \(b_1 \cdot b_n = b_1 \cdot (b_1 \cdot q^{n-1})\).

9. Перемножим: \(b_1 \cdot b_n = b_1^2 \cdot q^{n-1}\).

10. Получили, что \(b_k \cdot b_{n-k+1} = b_1 \cdot b_n\). Что и требовалось доказать.