ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 851 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Последовательность (\(b_n\)) является геометрической прогрессией со знаменателем \(q\). Является ли геометрической прогрессией последовательность:

1) \(b_1, b_2, \ldots, b_{n-1}\);

2) \(2b_1, 2b_2, \ldots, 2b_{n-1}\);

3) \(b_1 + b_2, b_2 + b_3, \ldots, b_{n-1} + b_n\);

4) \(\frac{1}{b_1}, \frac{1}{b_2}, \ldots, \frac{1}{b_n}\).

В случае утвердительного ответа укажите знаменатель прогрессии.

1) \(q^2\)

2) \(q\)

3) \(q,\ q \neq -1\)

4) \(\frac{1}{q}\)

1) Возьмём члены \(b_1, b_3, b_5, \ldots, b_{2n-1}\). По формуле \(b_n = b_1 q^{n-1}\), тогда \(b_{2k-1} = b_1 q^{2k-2}\). Найдём знаменатель: \(\frac{b_{2k+1}}{b_{2k-1}} = \frac{b_1 q^{2k}}{b_1 q^{2k-2}} = q^2\).

2) Последовательность \(2b_1, 2b_2, \ldots, 2b_n\). Каждый член равен \(2b_k\). Знаменатель: \(\frac{2b_{k+1}}{2b_k} = \frac{b_{k+1}}{b_k} = q\).

3) Последовательность \(b_1+b_2, b_2+b_3, \ldots, b_{n-1}+b_n\). \(k\)-й член: \(b_k + b_{k+1} = b_1 q^{k-1} + b_1 q^k = b_1 q^{k-1}(1+q)\). Знаменатель: \(\frac{b_{k+1}+b_{k+2}}{b_k+b_{k+1}} = \frac{b_1 q^k (1+q)}{b_1 q^{k-1} (1+q)} = q\), но \(q \neq -1\), иначе будет деление на ноль.

4) Последовательность \(\frac{1}{b_1}, \frac{1}{b_2}, \ldots, \frac{1}{b_n}\). Знаменатель: \(\frac{\frac{1}{b_{k+1}}}{\frac{1}{b_k}} = \frac{b_k}{b_{k+1}} = \frac{1}{q}\).