ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 852 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Последовательность (\(b_n\)) является геометрической прогрессией со знаменателем \(q\). Является ли геометрической прогрессией последовательность:

1) \(b_2, b_3, \ldots, b_{n+1}\);

2) \(b_1 b_2, b_2 b_3, \ldots, b_n b_{n+1}\).

В случае утвердительного ответа укажите знаменатель прогрессии.

1) \(q_k = \frac{b_{2n+2}}{b_{2n}} = \frac{b_1 q^{2n+1}}{b_1 q^{2n-1}} = q^2\)

Ответ: \(q^2\)

2) \(q_k = \frac{b_{n-1} b_{n+1}}{b_{n-2} b_n} = \frac{b_1 q^{n-2} \cdot b_1 q^{n}}{b_1 q^{n-3} \cdot b_1 q^{n-1}} = \frac{q^{2n-2}}{q^{2n-4}} = q^2\)

Ответ: \(q^2\)

1) Пусть дана геометрическая прогрессия \(b_n\) со знаменателем \(q\), тогда \(b_n = b_1 q^{n-1}\).

Рассмотрим последовательность чётных членов: \(b_2, b_4, b_6, \ldots, b_{2n}\).

Первый член этой последовательности: \(b_2 = b_1 q^{2-1} = b_1 q^1\).

Второй член: \(b_4 = b_1 q^{4-1} = b_1 q^3\).

Третий член: \(b_6 = b_1 q^{6-1} = b_1 q^5\).

Общий вид: \(b_{2k} = b_1 q^{2k-1}\).

Найдём знаменатель новой прогрессии:

\(q_1 = \frac{b_{2k+2}}{b_{2k}} = \frac{b_1 q^{2k+1}}{b_1 q^{2k-1}} = q^{2}\).

Ответ: \(q^2\).

2) Рассмотрим последовательность \(b_{n-1}b_{n+1}, b_n b_{n+2}, \ldots\).

Общий член: \(b_{k} b_{k+2}\).

Подставим формулу: \(b_k = b_1 q^{k-1}\), \(b_{k+2} = b_1 q^{k+1}\).

Произведение: \(b_k b_{k+2} = (b_1 q^{k-1}) (b_1 q^{k+1}) = b_1^2 q^{2k}\).

Следующий член: \(b_{k+1} b_{k+3} = (b_1 q^{k}) (b_1 q^{k+2}) = b_1^2 q^{2k+2}\).

Знаменатель новой прогрессии:

\(q_2 = \frac{b_{k+1}b_{k+3}}{b_k b_{k+2}} = \frac{b_1^2 q^{2k+2}}{b_1^2 q^{2k}} = q^{2}\).

Ответ: \(q^2\).