ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 856 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите первый член и знаменатель геометрической прогрессии (\(b_n\)), если:

1) \(b_1 — b_4 = 30\) и \(b_2 — b_5 = 24\);

2) \(b_2 — b_3 = 78\) и \(b_3 + b_4 + b_5 = -117\).

\(b_1 = \frac{1}{2};\ q = 4\)

\(b_1 = -1;\ q = 3\)

1. Пусть \(b_n = b_1 q^{n-1}\). По условию: \(b_4 — b_2 = 30\), \(b_4 — b_3 = 24\).

\(b_4 — b_2 = b_1 q^3 — b_1 q = b_1 q (q^2 — 1) = 30\)

\(b_4 — b_3 = b_1 q^3 — b_1 q^2 = b_1 q^2 (q — 1) = 24\)

Разделим первое уравнение на второе:

\(\frac{b_1 q (q^2 — 1)}{b_1 q^2 (q — 1)} = \frac{30}{24}\)

\(\frac{q^2 — 1}{q (q — 1)} = \frac{5}{4}\)

\(q^2 — 1 = (q — 1)(q + 1)\), тогда

\(\frac{q + 1}{q} = \frac{5}{4}\)

\(4(q + 1) = 5q\)

\(4q + 4 = 5q\)

\(q = 4\)

Подставим \(q\) во второе уравнение:

\(b_1 \cdot 16 \cdot 3 = 24\)

\(b_1 \cdot 48 = 24\)

\(b_1 = \frac{24}{48} = \frac{1}{2}\)

Ответ: \(b_1 = \frac{1}{2};\ q = 4\)

2. Пусть \(b_n = b_1 q^{n-1}\). По условию: \(b_2 — b_5 = 78\), \(b_3 + b_4 + b_5 = -117\).

\(b_2 — b_5 = b_1 q — b_1 q^4 = b_1 q (1 — q^3) = 78\)

\(b_3 + b_4 + b_5 = b_1 q^2 + b_1 q^3 + b_1 q^4 = b_1 q^2 (1 + q + q^2) = -117\)

Разделим второе уравнение на первое:

\(\frac{b_1 q^2 (1 + q + q^2)}{b_1 q (1 — q^3)} = \frac{-117}{78}\)

\(\frac{q (1 + q + q^2)}{1 — q^3} = -\frac{117}{78}\)

\(\frac{q (1 + q + q^2)}{1 — q^3} = -\frac{3}{2}\)

\(1 — q^3 = -(q^3 — 1)\), значит

\(\frac{q (1 + q + q^2)}{-(q^3 — 1)} = -\frac{3}{2}\)

\(\frac{q (1 + q + q^2)}{-(q — 1)(q^2 + q + 1)} = -\frac{3}{2}\)

\(\frac{q}{-(q — 1)} = -\frac{3}{2}\)

\(\frac{q}{q — 1} = \frac{3}{2}\)

\(2q = 3(q — 1)\)

\(2q = 3q — 3\)

\(q = 3\)

Подставим \(q\) в первое уравнение:

\(b_1 \cdot 3 \cdot (1 — 27) = 78\)

\(b_1 \cdot 3 \cdot (-26) = 78\)

\(b_1 \cdot (-78) = 78\)

\(b_1 = -1\)

Ответ: \(b_1 = -1;\ q = 3\)