ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 857 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

При каком значении \(x\) значения выражений \(2x + 1, x + 5\) и \(x + 11\) будут последовательными членами геометрической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.

\( (x+5)^2 = (2x+1)(x+11) \)
\( x^2 + 10x + 25 = 2x^2 + 23x + 11 \)
\( x^2 + 10x + 25 — 2x^2 — 23x — 11 = 0 \)
\( -x^2 — 13x + 14 = 0 \)
\( x^2 + 13x — 14 = 0 \)
\( D = 13^2 + 4 \cdot 14 = 169 + 56 = 225 \)
\( x_1 = \frac{-13-15}{2} = -14 \)
\( x_2 = \frac{-13+15}{2} = 1 \)

При \( x = -14 \):
\( b_1 = 2 \cdot (-14) + 1 = -27 \)
\( b_2 = -14 + 5 = -9 \)
\( b_3 = -14 + 11 = -3 \)

При \( x = 1 \):
\( b_1 = 2 \cdot 1 + 1 = 3 \)
\( b_2 = 1 + 5 = 6 \)
\( b_3 = 1 + 11 = 12 \)

-27; -9; -3 при \( x = -14 \)
3; 6; 12 при \( x = 1 \)

1. Пусть три последовательных члена геометрической прогрессии:
\( b_1 = 2x + 1 \), \( b_2 = x + 5 \), \( b_3 = x + 11 \).

2. Для геометрической прогрессии выполняется свойство:
\( b_2^2 = b_1 \cdot b_3 \).

3. Подставим значения:
\( (x + 5)^2 = (2x + 1)(x + 11) \).

4. Раскроем скобки:
\( x^2 + 10x + 25 = 2x^2 + 22x + x + 11 \).

5. Приведём подобные:
\( x^2 + 10x + 25 = 2x^2 + 23x + 11 \).

6. Перенесём всё в одну сторону:
\( x^2 + 10x + 25 — 2x^2 — 23x — 11 = 0 \).

7. Получаем:
\( -x^2 — 13x + 14 = 0 \).

8. Умножим на \(-1\):
\( x^2 + 13x — 14 = 0 \).

9. Найдём дискриминант:
\( D = 13^2 + 4 \cdot 14 = 169 + 56 = 225 \).

10. Найдём корни:
\( x_1 = \frac{-13 — 15}{2} = \frac{-28}{2} = -14 \)
\( x_2 = \frac{-13 + 15}{2} = \frac{2}{2} = 1 \)

11. Подставим \( x = -14 \):
\( b_1 = 2 \cdot (-14) + 1 = -28 + 1 = -27 \)
\( b_2 = -14 + 5 = -9 \)
\( b_3 = -14 + 11 = -3 \)

12. Подставим \( x = 1 \):
\( b_1 = 2 \cdot 1 + 1 = 2 + 1 = 3 \)
\( b_2 = 1 + 5 = 6 \)
\( b_3 = 1 + 11 = 12 \)

13. Ответ:
-27; -9; -3 при \( x = -14 \)
3; 6; 12 при \( x = 1 \)