ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 858 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

При каком значении \(x\) значения выражений \(x + 6, x + 2\) и \(3x — 4\) будут последовательными членами геометрической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.

Дано: \(b_1 = x + 6\), \(b_2 = x + 2\), \(b_3 = 3x — 4\)

По свойству прогрессии: \((x + 2)^2 = (x + 6)(3x — 4)\)

\(x^2 + 4x + 4 = 3x^2 + 14x — 24\)

\(x^2 + 4x + 4 — 3x^2 — 14x + 24 = 0\)

\(-2x^2 — 10x + 28 = 0\)

\(2x^2 + 10x — 28 = 0\)

\(x^2 + 5x — 14 = 0\)

\(D = 5^2 + 4 \cdot 14 = 25 + 56 = 81\)

\(x_1 = \frac{-5 — 9}{2} = -7\)

\(x_2 = \frac{-5 + 9}{2} = 2\)

Если \(x = -7\):

\(b_1 = -7 + 6 = -1\)

\(b_2 = -7 + 2 = -5\)

\(b_3 = 3 \cdot (-7) — 4 = -21 — 4 = -25\)

Если \(x = 2\):

\(b_1 = 2 + 6 = 8\)

\(b_2 = 2 + 2 = 4\)

\(b_3 = 3 \cdot 2 — 4 = 6 — 4 = 2\)

Ответ: \(-1,\ -5,\ -25\) при \(x = -7\); \(8,\ 4,\ 2\) при \(x = 2\)

Пусть три числа геометрической прогрессии обозначены как \(b_1\), \(b_2\), \(b_3\). По условию задачи: \(b_1 = x + 6\), \(b_2 = x + 2\), \(b_3 = 3x — 4\). В геометрической прогрессии выполняется свойство: квадрат среднего члена равен произведению крайних членов, то есть \((x + 2)^2 = (x + 6)(3x — 4)\). Раскроем скобки в левой части: \((x + 2)^2 = x^2 + 4x + 4\). В правой части перемножим: \((x + 6)(3x — 4) = x \cdot 3x + x \cdot (-4) + 6 \cdot 3x + 6 \cdot (-4) = 3x^2 — 4x + 18x-\)
\( — 24 = 3x^2 + 14x — 24\).

Приравняем обе части: \(x^2 + 4x + 4 = 3x^2 + 14x — 24\). Переносим все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: \(x^2 + 4x + 4 — 3x^2 — 14x + 24 = 0\). Приведём подобные: \(x^2 — 3x^2 = -2x^2\), \(4x — 14x = -10x\), \(4 + 24 = 28\). Получаем: \(-2x^2 — 10x + 28 = 0\). Домножим обе части на \(-1\), чтобы первый коэффициент был положительным: \(2x^2 + 10x — 28 = 0\). Разделим на 2 для упрощения: \(x^2 + 5x — 14 = 0\).

Для решения квадратного уравнения \(x^2 + 5x — 14 = 0\) находим дискриминант: \(D = 5^2 + 4 \cdot 14 = 25 + 56 = 81\). Корни уравнения находим по формуле: \(x_1 = \frac{-5 — 9}{2} = -7\), \(x_2 = \frac{-5 + 9}{2} = 2\). Теперь подставим найденные значения \(x\) в выражения для членов прогрессии. Если \(x = -7\), тогда \(b_1 = -7 + 6 = -1\), \(b_2 = -7 + 2 = -5\), \(b_3 = 3 \cdot (-7) — 4 = -21 — 4 = -25\). Если \(x = 2\), тогда \(b_1 = 2 + 6 = 8\), \(b_2 = 2 + 2 = 4\), \(b_3 = 3 \cdot 2 — 4 = 6 — 4 = 2\).

Проверим, действительно ли эти числа образуют геометрическую прогрессию. Для \(x = -7\): отношение второго к первому \(r_1 = \frac{-5}{-1} = 5\), отношение третьего ко второму \(r_2 = \frac{-25}{-5} = 5\). Для \(x = 2\): отношение второго к первому \(r_1 = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}\), отношение третьего ко второму \(r_2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\). В обоих случаях отношение одинаково, значит, числа действительно образуют геометрическую прогрессию.

Ответ: \(-1,\ -5,\ -25\) при \(x = -7\); \(8,\ 4,\ 2\) при \(x = 2\)